Determine cada um dos limites dados a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x-2}-\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x-2}-\sqrt{x}\big).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão é a diferença de duas raízes quadradas: \sqrt{x-2} e \sqrt{x}.
  • Se fizermos substituição direta obtemos a forma indeterminada +\infty - +\infty, então precisamos de uma técnica para transformar essa expressão em algo cujo limite é mais claro.

Passo 2

Técnica escolhida: racionalizar a diferença usando o conjugado. Explicação didática do porquê: para expressões do tipo \sqrt{A}-\sqrt{B} é útil multiplicar por \dfrac{\sqrt{A}+\sqrt{B}}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=1, porque o produto (\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B}) elimina as raízes, usando a identidade
(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B}) = A - B.
Isso transforma a diferença em uma fração cujo numerador é uma diferença simples e o denominador é uma soma de raízes — mais fácil de analisar quando x\to+\infty.

Passo 3

Aplicando a racionalização à expressão:
\sqrt{x-2}-\sqrt{x} = \frac{\big(\sqrt{x-2}-\sqrt{x}\big)\big(\sqrt{x-2}+\sqrt{x}\big)}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x}} = \frac{(x-2)-x}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x}}.
Simplificando o numerador:
\sqrt{x-2}-\sqrt{x} = \frac{-2}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x}}.

Passo 4

Agora analisamos o limite da forma \dfrac{-2}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x}} quando x\to+\infty.
  • O denominador \sqrt{x-2}+\sqrt{x} cresce sem limite quando x\to+\infty (a raiz quadrada de x tende a +\infty), portanto a fração tende a 0.
    Uma forma mais explícita: dividir numerador e denominador por \sqrt{x}:
\frac{-2}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x}} = \frac{-2}{\sqrt{x}\big(\sqrt{1-\tfrac{2}{x}}+1\big)} = \frac{-2}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{2}{x}}+1}.
No limite x\to+\infty tem-se \sqrt{1-\tfrac{2}{x}}\to1, então o segundo fator tende a \tfrac{1}{1+1}=\tfrac{1}{2}. Assim a expressão comporta-se como \dfrac{-2}{\sqrt{x}}\cdot\tfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt{x}}, que tende a 0. Isso também mostra que o limite é 0 e que a expressão se aproxima de 0 por valores negativos (pois é aproximadamente -1/\sqrt{x}).

Passo 5

Conclusão: a expressão racionalizada tende a 0 quando x\to+\infty. Portanto o limite pedido é 0. Força aí — deu tudo certo!

Resposta

0

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