Determine cada um dos limites dados a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável
tende para . - A expressão é a diferença de duas raízes quadradas:
e . - Se fizermos substituição direta obtemos a forma indeterminada
, então precisamos de uma técnica para transformar essa expressão em algo cujo limite é mais claro.
Passo 2
Técnica escolhida: racionalizar a diferença usando o conjugado. Explicação didática do porquê: para expressões do tipo
é útil multiplicar por
, porque o produto
elimina as raízes, usando a identidade
Isso transforma a diferença em uma fração cujo numerador é uma diferença simples e o denominador é uma soma de raízes — mais fácil de analisar quando
.
Passo 3
Aplicando a racionalização à expressão:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Agora analisamos o limite da forma
quando
.
- O denominador
cresce sem limite quando (a raiz quadrada de tende a ), portanto a fração tende a .
Uma forma mais explícita: dividir numerador e denominador por:
No limite
tem-se
, então o segundo fator tende a
. Assim a expressão comporta-se como
, que tende a
. Isso também mostra que o limite é
e que a expressão se aproxima de
por valores negativos (pois é aproximadamente
).
Passo 5
Conclusão: a expressão racionalizada tende a
quando
. Portanto o limite pedido é
. Força aí — deu tudo certo!