Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial. 2 x^{\prime}+x=3 t^{2}
Passo 1
Enunciado: Encontrar uma solução particular da equação diferencial
2\,x'(t)+x(t)=3\,t^{2}.
Informações dadas:
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem não homogênea.
O termo do lado direito é o polinômio \,3t^{2}\, (grau 2).
A incógnita é a função x(t).
Pedido: encontrar uma solução particular x_{p}(t) que satisfaça a equação acima.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Quando o termo não homogêneo (lado direito) é um polinômio em t, uma técnica simples e direta é o método dos coeficientes a determinar: fazemos um palpite (ansatz) para x_{p}(t) como um polinômio de mesmo grau e determinamos seus coeficientes impondo que satisfaça a equação. Justificativa simples: derivada de um polinômio é polinômio de grau menor, e a combinação linear 2x'+x será um polinômio; portanto é razoável tentar um polinômio do mesmo grau do lado direito. Observação importante: se o palpite coincidisse com uma solução da equação homogênea associada, teríamos que multiplicar o palpite por t para obter independência; neste caso a homogênea tem solução exponencial (não polinomial), então não há colisão e o palpite polinomial funciona direto.
Passo 3
Fazer o palpite (ansatz):
Como o lado direito é polinômio de grau 2, tentamos
x_{p}(t)=a\,t^{2}+b\,t+c,
onde a,b,c são coeficientes reais a determinar. Calculemos a derivada:
x_{p}'(t)=2a\,t+b.
Passo 4
Substituir x_{p} e x_{p}' na equação 2x'+x=3t^{2}:
Igualar coeficientes dos polinômios (pois dois polinômios são iguais para todo t iff seus coeficientes de cada potência coincidem):
Comparando com 3t^{2}+0\cdot t+0 obtemos o sistema