Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
2 x^{\prime}+x=3 t^{2}

Passo 1

Enunciado: Encontrar uma solução particular da equação diferencial
2\,x'(t)+x(t)=3\,t^{2}.
Informações dadas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem não homogênea.
  • O termo do lado direito é o polinômio \,3t^{2}\, (grau 2).
  • A incógnita é a função x(t).
    Pedido: encontrar uma solução particular x_{p}(t) que satisfaça a equação acima.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Quando o termo não homogêneo (lado direito) é um polinômio em t, uma técnica simples e direta é o método dos coeficientes a determinar: fazemos um palpite (ansatz) para x_{p}(t) como um polinômio de mesmo grau e determinamos seus coeficientes impondo que satisfaça a equação. Justificativa simples: derivada de um polinômio é polinômio de grau menor, e a combinação linear 2x'+x será um polinômio; portanto é razoável tentar um polinômio do mesmo grau do lado direito. Observação importante: se o palpite coincidisse com uma solução da equação homogênea associada, teríamos que multiplicar o palpite por t para obter independência; neste caso a homogênea tem solução exponencial (não polinomial), então não há colisão e o palpite polinomial funciona direto.

Passo 3

Fazer o palpite (ansatz):
Como o lado direito é polinômio de grau 2, tentamos
x_{p}(t)=a\,t^{2}+b\,t+c,
onde a,b,c são coeficientes reais a determinar. Calculemos a derivada:
x_{p}'(t)=2a\,t+b.

Passo 4

Substituir x_{p} e x_{p}' na equação 2x'+x=3t^{2}:
2\big(2a\,t+b\big)+\big(a\,t^{2}+b\,t+c\big)=3t^{2}.
Agora expandimos e juntamos termos semelhantes:
4a\,t+2b + a\,t^{2}+b\,t+c = a\,t^{2}+(4a+b)\,t+(2b+c).

Passo 5

Igualar coeficientes dos polinômios (pois dois polinômios são iguais para todo t iff seus coeficientes de cada potência coincidem):
Comparando com 3t^{2}+0\cdot t+0 obtemos o sistema
\begin{cases} a = 3,\\[4pt] 4a+b = 0,\\[4pt] 2b+c = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação segue a=3.
  • Substituindo a=3 em 4a+b=0 4\cdot 3 + b = 0, ou seja
b = -12.
  • Substituindo b=-12 em 2b+c=0 2(-12)+c=0, ou seja
c = 24.

Passo 7

Escrever a solução particular encontrada e verificar rapidamente:
Com a=3, b=-12, c=24 temos
x_{p}(t)=3\,t^{2}-12\,t+24.
Verificação rápida: x_{p}'(t)=6t-12. Então
2x_{p}'+x_{p}=2(6t-12)+(3t^{2}-12t+24)=12t-24+3t^{2}-12t+24=3t^{2},
que coincide com o lado direito, logo x_{p} é de fato uma solução particular.

Resposta

x_{p}(t)=3\,t^{2}-12\,t+24

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