Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
e a variável
tende para
. A pergunta é: qual é o valor (ou comportamento) desse quociente quando
cresce sem limite?
Passo 2
Ideia e regra prática (explicada passo a passo): para
Aqui o numerador tem grau
, então esperamos que o quociente cresça sem limite em módulo (isto é, seja infinito). Para determinar o sinal (+
ou
) precisamos ver o sinal do termo dominante quando
.]
Passo 3
Vamos fazer uma manipulação algébrica clara que mostra isso: dividir numerador e denominador por
(a maior potência presente no denominador), o que é legítimo para
e em particular para
grande positivo. Temos
Passo 4
Agora avaliamos o comportamento dos termos que dependem de
. Sabemos que, quando
,
Portanto o denominador da expressão transformada tende para
que é um número positivo e diferente de zero. O numerador da expressão transformada é
Como
cresce sem limite e positivo quando
, concluímos que
Passo 5
Agora aplicamos regras de limite para quocientes: se o numerador tende para
e o denominador tende para um número finito e não-nulo (aqui
), então o quociente tende para
. Além disso, como o denominador tende a
, o sinal do numerador (positivo e tendendo a
) é preservado no quociente. Logo
Como essa expressão é igual à original, o limite pedido é
.