Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7 x^{2}+5 x+2}{3 x-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{7x^{2}+5x+2}{3x-4}.
Informações dadas:
\text{numerador: }7x^{2}+5x+2,\qquad \text{denominador: }3x-4,
e a variável x tende para +\infty. A pergunta é: qual é o valor (ou comportamento) desse quociente quando x cresce sem limite?

Passo 2

Ideia e regra prática (explicada passo a passo): para x\) muito grande, os termos de maior grau nas polinômios dominam o comportamento. Em particular, quando temos uma razão de polinômios, a comparação dos graus (maiores potências de \(x\)) já dá uma boa indicação: \[\begin{cases} \text{se grau do numerador = grau do denominador, o limite tende ao quociente dos coeficientes líderes;}\\[4pt] \text{se grau do numerador > grau do denominador, o valor em módulo tende a }+\infty\text{ (ou }-\infty\text{),}\\[4pt] \text{se grau do numerador < grau do denominador, o limite tende a }0. \end{cases}
Aqui o numerador tem grau 2\] e o denominador tem grau \(1, então esperamos que o quociente cresça sem limite em módulo (isto é, seja infinito). Para determinar o sinal (+ \infty ou -\infty) precisamos ver o sinal do termo dominante quando x\to+\infty.]

Passo 3

Vamos fazer uma manipulação algébrica clara que mostra isso: dividir numerador e denominador por x (a maior potência presente no denominador), o que é legítimo para x\neq0 e em particular para x grande positivo. Temos
\frac{7x^{2}+5x+2}{3x-4} = \frac{7x+5+\dfrac{2}{x}}{3-\dfrac{4}{x}}.

Passo 4

Agora avaliamos o comportamento dos termos que dependem de x. Sabemos que, quando x\to+\infty,
\frac{2}{x}\to 0\qquad\text{e}\qquad \frac{4}{x}\to 0.
Portanto o denominador da expressão transformada tende para
3-\frac{4}{x}\to 3,
que é um número positivo e diferente de zero. O numerador da expressão transformada é
7x+5+\frac{2}{x}.
Como 7x cresce sem limite e positivo quando x\to+\infty, concluímos que
7x+5+\frac{2}{x}\to +\infty.

Passo 5

Agora aplicamos regras de limite para quocientes: se o numerador tende para +\infty e o denominador tende para um número finito e não-nulo (aqui 3), então o quociente tende para +\infty. Além disso, como o denominador tende a 3>0, o sinal do numerador (positivo e tendendo a +\infty) é preservado no quociente. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{7x+5+\dfrac{2}{x}}{3-\dfrac{4}{x}} = +\infty.
Como essa expressão é igual à original, o limite pedido é +\infty.

Resposta

+\infty

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