Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{x+2}{4 x-1}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x\to+\infty da expressão
\sqrt{\frac{x+2}{4x-1}}.
Informações dadas e o que se quer: calcular
\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{x+2}{4x-1}}.

Passo 2

Ideia geral (sem executar ainda): quando x\to+\infty as parcelas com x dominam as constantes. Para frações racionais (polinômios no numerador e denominador) é comum dividir por uma potência de x (a maior que aparece) para ver o termo dominante. Aqui há uma raiz quadrada, então faremos a simplificação dentro da raiz e usaremos que a função \sqrt{\cdot} é contínua para valores positivos.

Passo 3

Fatorar x no numerador e no denominador dentro da raiz para deixar tudo em termos de frações que tendem a zero:
\frac{x+2}{4x-1}=\frac{x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)}{x\left(4-\dfrac{1}{x}\right)}.
Como x\neq0 (estamos indo para +\infty), podemos simplificar o fator x:
\frac{x+2}{4x-1}=\frac{1+\dfrac{2}{x}}{4-\dfrac{1}{x}}.

Passo 4

Agora reescrevemos o limite usando essa forma:
\sqrt{\frac{x+2}{4x-1}}=\sqrt{\frac{1+\dfrac{2}{x}}{4-\dfrac{1}{x}}}.
Estudamos o comportamento das parcelas \dfrac{2}{x} e \dfrac{1}{x} quando x\to+\infty: ambas tendem a 0.

Passo 5

Tomando limite dentro da fração (operações elementares com limites):
\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\dfrac{2}{x}}{4-\dfrac{1}{x}}=\frac{1+0}{4-0}=\frac{1}{4}.
Justificativa: soma, subtração e razão (quando o denominador não tende a zero) preservam limites.

Passo 6

A função \sqrt{\cdot} é contínua no intervalo (0,+\infty). Como o limite dentro da raiz é \dfrac{1}{4}>0, podemos passar o limite para dentro da raiz:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{1+\dfrac{2}{x}}{4-\dfrac{1}{x}}}=\sqrt{\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\dfrac{2}{x}}{4-\dfrac{1}{x}}}=\sqrt{\frac{1}{4}}.
E \sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2} (escolhe-se o sinal positivo porque a raiz quadrada principal é não negativa).

Passo 7

Portanto o limite pedido existe e vale \dfrac{1}{2}. (Força: sempre verificar que a quantidade dentro da raiz tende a um número positivo, o que garante a continuidade e o uso da propriedade acima.)

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados