Calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{x+2}{4 x-1}}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando x\to+\infty da expressão
\sqrt{\frac{x+2}{4x-1}}.
Informações dadas e o que se quer: calcular
\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{x+2}{4x-1}}.
Passo 2
Ideia geral (sem executar ainda): quando x\to+\infty as parcelas com x dominam as constantes. Para frações racionais (polinômios no numerador e denominador) é comum dividir por uma potência de x (a maior que aparece) para ver o termo dominante. Aqui há uma raiz quadrada, então faremos a simplificação dentro da raiz e usaremos que a função \sqrt{\cdot} é contínua para valores positivos.
Passo 3
Fatorar x no numerador e no denominador dentro da raiz para deixar tudo em termos de frações que tendem a zero:
E \sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2} (escolhe-se o sinal positivo porque a raiz quadrada principal é não negativa).
Passo 7
Portanto o limite pedido existe e vale \dfrac{1}{2}. (Força: sempre verificar que a quantidade dentro da raiz tende a um número positivo, o que garante a continuidade e o uso da propriedade acima.)