Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}.
Informações úteis que já dáo: ao aproximar x para +\infty temos que a base \left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right) tende a 1 e o expoente x tende a +\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. O objetivo é transformar essa indeterminação numa forma que seja possível avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia padrão para limites do tipo 1^{\infty}: tomar logaritmo natural para trazer o expoente para frente e transformar a potência numa multiplicação. Defina
L=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x},
se o limite existir e for positivo podemos escrever
\ln L=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right).
Explicar por que é válido: a função \ln é contínua e monótona em (0,+\infty); se o limite da potência existir e for >0 então o limite do log existe e é o log do limite. Agora o problema virou calcular
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right).

Passo 3

Reescrevemos a expressão de forma conveniente para aplicar o L’Hôpital (porque vamos obter 0/0):
x\ln\!\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{\ln\!\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{1/x}.
Observe que, quando x\to+\infty, o numerador tende a \ln(1)=0 e o denominador 1/x tende a 0, então temos uma forma 0/0. Podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\ln\!\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}\cdot\frac{2}{x^{3}}.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Aplicando L’Hôpital obtemos
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) = \lim_{x\to+\infty} \frac{\dfrac{2}{x^{3}\!\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{2}{x\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)}\right).
Como 1-\dfrac{1}{x^{2}}\to1, o limite da expressão à direita é
\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{2}{x\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)}\right)=0.
Portanto encontramos que
\ln L=0.

Passo 4

Se \ln L=0, então L=e^{0}=1. Como a sequência/expressão dentro do log era positiva para x grande (de fato 1-\dfrac{1}{x^{2}}>0 para x>1), não há problema em aplicar exponencial e concluir que o limite da expressão original é 1.

Passo 5

Comentário didático extra (útil para a prova): outra maneira rápida de ver isso é usar a equivalência \ln(1+u)\sim u quando u\to0. Aqui u=-\dfrac{1}{x^{2}} é pequeno, então
x\ln\!\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\sim x\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{1}{x}\to0,
daí o log tende a zero e a potência tende a e^{0}=1. Exemplos parecidos que valem decorar: \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x}=e^{a}, enquanto quando o pequeno termo é de ordem 1/x^{2} como aqui a contribuição do expoente desaparece e o limite é 1.

Resposta

1

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