Informações úteis que já dáo: ao aproximar x para +\infty temos que a base \left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right) tende a 1 e o expoente x tende a +\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. O objetivo é transformar essa indeterminação numa forma que seja possível avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia padrão para limites do tipo 1^{\infty}: tomar logaritmo natural para trazer o expoente para frente e transformar a potência numa multiplicação. Defina
Explicar por que é válido: a função \ln é contínua e monótona em (0,+\infty); se o limite da potência existir e for >0 então o limite do log existe e é o log do limite. Agora o problema virou calcular
Observe que, quando x\to+\infty, o numerador tende a \ln(1)=0 e o denominador 1/x tende a 0, então temos uma forma 0/0. Podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a x.
Se \ln L=0, então L=e^{0}=1. Como a sequência/expressão dentro do log era positiva para x grande (de fato 1-\dfrac{1}{x^{2}}>0 para x>1), não há problema em aplicar exponencial e concluir que o limite da expressão original é 1.
Passo 5
Comentário didático extra (útil para a prova): outra maneira rápida de ver isso é usar a equivalência \ln(1+u)\sim u quando u\to0. Aqui u=-\dfrac{1}{x^{2}} é pequeno, então
daí o log tende a zero e a potência tende a e^{0}=1. Exemplos parecidos que valem decorar: \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x}=e^{a}, enquanto quando o pequeno termo é de ordem 1/x^{2} como aqui a contribuição do expoente desaparece e o limite é 1.