Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-3}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável tende para +\infty.
  • A expressão é uma potência com base \left(1+\dfrac{1}{x}\right) e expoente x-3.
  • Quer-se o valor numérico desse limite quando x cresce sem bound.

Passo 2

Primeiro reescrevo a expressão de forma conveniente para separar a parte que conhecemos bem:
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-3} = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\cdot \left(1+\frac{1}{x}\right)^{-3}.
Isto é apenas usar a propriedade de potências \,a^{b+c}=a^{b}a^{c}\, com b=x e c=-3.

Passo 3

Vou calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}. Este é o limite clássico que define o número e. Para mostrar isso de maneira direta, tomo o logaritmo natural da expressão e faço uma mudança de variável:
defina y(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}. Então
\ln y(x)=x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Faço a substituição t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to+\infty temos t\to 0^+. Reescrevendo,
\ln y(x)=\frac{\ln(1+t)}{t}.
Agora calculo o limite quando t\to0^+:
\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Este é um limite do tipo 0/0, e aplicando a regra de L’Hôpital (derivada do numerador =1/(1+t), do denominador =1) obtemos
\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to0^+}\frac{1}{1+t}=1.
Logo \lim_{x\to+\infty}\ln y(x)=1, ou seja \lim_{x\to+\infty}y(x)=e. Em símbolos:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e.

Passo 4

Agora calculo o outro fator:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-3}.
Como \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)=1 e a função u\mapsto u^{-3} é contínua em u=1, vale
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-3}=1^{-3}=1.
(Em termos elementares: \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{-3} tende para 1^{-3}=1.)

Passo 5

Agora uso a propriedade que, se \lim_{x\to a}A(x)=A e \lim_{x\to a}B(x)=B com A,B finitos, então \lim_{x\to a}A(x)B(x)=AB. Aqui já demonstramos:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-3}=1.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-3} = e\cdot 1 = e.

Passo 6

Resumo intuitivo: a parte principal da expressão é \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}, que tende para e. O ajuste por -3 no expoente só multiplica por um fator que tende a 1. Assim o limite é e.

Resposta

e

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