Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável tende para
. - A expressão é uma potência com base
e expoente . - Quer-se o valor numérico desse limite quando
cresce sem bound.
Passo 2
Primeiro reescrevo a expressão de forma conveniente para separar a parte que conhecemos bem:
Isto é apenas usar a propriedade de potências
com
e
.
Passo 3
Vou calcular
. Este é o limite clássico que define o número
. Para mostrar isso de maneira direta, tomo o logaritmo natural da expressão e faço uma mudança de variável:
defina . Então
defina
Faço a substituição
. Quando
temos
. Reescrevendo,
Agora calculo o limite quando
:
Este é um limite do tipo
, e aplicando a regra de L’Hôpital (derivada do numerador
, do denominador
) obtemos
Logo
, ou seja
. Em símbolos:
Passo 4
Agora calculo o outro fator:
Como
e a função
é contínua em
, vale
(Em termos elementares:
tende para
.)
Passo 5
Agora uso a propriedade que, se
e
com
finitos, então
. Aqui já demonstramos:
Portanto
Passo 6
Resumo intuitivo: a parte principal da expressão é
, que tende para
. O ajuste por
no expoente só multiplica por um fator que tende a
. Assim o limite é
.