Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- É pedido calcular o limite
- Informação dada: a função logarítmica na base
, , aplicada a . O ponto de interesse é . - Meta: transformar esse limite em algo que a gente saiba calcular com segurança e provar o resultado rigorosamente.
Passo 2
Trocar a base do logaritmo (fórmula de mudança de base) e isolar a parte que efetivamente depende de
.
- Lembrete (fórmula de mudança de base): para quaisquer bases positivas
e argumento positivo,
onde
é o logaritmo natural (base
), e
é uma constante em relação a
.
- Aplicando isso ao numerador:
- Portanto o limite fica
- Como
é constante e diferente de zero, podemos tirar fora do limite:
Agora o problema reduz-se a calcular
.
Passo 3
Calcular
com uma prova elementar (desenv. sem assumir derivadas/Taylor).
- Observação útil: para
vale a identidade integral
Isto nos permite comparar
com inteiros múltiplos de
porque
fica entre certos valores simples ao variar
entre
e
.
- Caso
: para tem-se
Integrando em
de
a
resulta
Dividindo por
obtemos
Quando
, ambos os extremos tendem para
, logo por squeeze (teorema do confronto)
- Caso
(com ): agora integramos de até . Para ainda vale
Integrando em
de
a
e lembrando que
(a integral muda de sinal se invertermos os limites), chega-se à mesma desigualdade em módulo; dividindo por
(atenção às inversões) obtém-se
Quando
, novamente ambos os extremos tendem para
, então
- Combinando os dois lados, o limite bilateral existe e vale
Passo 4
Concluir o limite original usando o resultado de
.
- Voltando à expressão do Passo 2:
- Como mostramos que
, o limite procurado é .