Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log _{2}(x+1)}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • É pedido calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\log_{2}(x+1)}{x}.
  • Informação dada: a função logarítmica na base 2, \log_{2}(\cdot), aplicada a x+1. O ponto de interesse é x\to 0.
  • Meta: transformar esse limite em algo que a gente saiba calcular com segurança e provar o resultado rigorosamente.

Passo 2

Trocar a base do logaritmo (fórmula de mudança de base) e isolar a parte que efetivamente depende de x.
  • Lembrete (fórmula de mudança de base): para quaisquer bases positivas a\neq 1 e argumento positivo,
\log_{a} y = \frac{\ln y}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural (base e), e \ln a é uma constante em relação a y.
  • Aplicando isso ao numerador:
\log_{2}(x+1)=\frac{\ln(1+x)}{\ln 2}.
  • Portanto o limite fica
\lim_{x\to 0}\frac{\log_{2}(x+1)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{\ln(1+x)}{x}.
  • Como \ln 2 é constante e diferente de zero, podemos tirar fora do limite:
\lim_{x\to 0}\frac{\log_{2}(x+1)}{x} = \frac{1}{\ln 2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.
Agora o problema reduz-se a calcular L=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 3

Calcular L=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} com uma prova elementar (desenv. sem assumir derivadas/Taylor).
  • Observação útil: para t>-1 vale a identidade integral
\ln(1+t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{1+u}\,du.
Isto nos permite comparar \ln(1+t) com inteiros múltiplos de t porque 1/(1+u) fica entre certos valores simples ao variar u entre 0 e t.
  • Caso x>0: para u\in[0,x] tem-se
\frac{1}{1+x}\le \frac{1}{1+u}\le 1.
Integrando em u de 0 a x resulta
\frac{x}{1+x}\le \int_{0}^{x}\frac{1}{1+u}\,du=\ln(1+x)\le x.
Dividindo por x>0 obtemos
\frac{1}{1+x}\le \frac{\ln(1+x)}{x}\le 1.
Quando x\to 0^{+}, ambos os extremos tendem para 1, logo por squeeze (teorema do confronto)
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
  • Caso x<0 (com x>-1): agora integramos de x até 0. Para u\in[x,0] ainda vale
\frac{1}{1+x}\le \frac{1}{1+u}\le 1.
Integrando em u de x a 0 e lembrando que \ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+u}\,du (a integral muda de sinal se invertermos os limites), chega-se à mesma desigualdade em módulo; dividindo por x<0 (atenção às inversões) obtém-se
1\le \frac{\ln(1+x)}{x}\le \frac{1}{1+x}.
Quando x\to 0^{-}, novamente ambos os extremos tendem para 1, então
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
  • Combinando os dois lados, o limite bilateral existe e vale
L=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 4

Concluir o limite original usando o resultado de L.
  • Voltando à expressão do Passo 2:
\lim_{x\to 0}\frac{\log_{2}(x+1)}{x} = \frac{1}{\ln 2}\cdot L.
  • Como mostramos que L=1, o limite procurado é \dfrac{1}{\ln 2}.

Resposta

\dfrac{1}{\ln 2}

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