Informações dadas: a expressão é da forma \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{b x} com a=-2 e b=3. O objetivo final é obter um número (o limite).
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): para limites do tipo \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{b x} costuma ser muito eficaz tomar logaritmo natural da expressão e passar o problema para o limite do logaritmo. Isso funciona porque a função exponencial é contínua e monotônica: se \ln y \to L então y\to e^{L}. Vou aplicar isso aqui.
Passo 3
Defino a função cujo limite queremos:
y(x)=\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3x}.
Tomando logaritmo natural:
\ln y(x)=3x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right).
Agora vou manipular essa expressão de forma a usar um limite padrão.
Passo 4
Usarei a conhecida propriedade limite
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Isso é um limite básico (é a base para \lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e) e pode ser justificado por desenvolvimento em série ou por desigualdades. Faço a substituição u=-\dfrac{2}{x}. Quando x\to+\infty temos u\to0^{-}. Reescrevo \ln y(x) como
\ln y(x)=3x\ln\!\left(1+\underbrace{\left(-\frac{2}{x}\right)}_{u}\right) =3x\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot u.
Substituindo u=-\dfrac{2}{x} devolvo em termos de x:
\ln y(x)=3x\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot u =3x\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot\left(-\frac{2}{x}\right).
Passo 5
Agora uso que \dfrac{\ln(1+u)}{u}\to1 quando u\to0. Assim, ao fazer x\to+\infty (logo u\to0) obtemos