Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede claramente que calculemos o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3x}.
Informações dadas: a expressão é da forma \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{b x} com a=-2 e b=3. O objetivo final é obter um número (o limite).

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): para limites do tipo \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{b x} costuma ser muito eficaz tomar logaritmo natural da expressão e passar o problema para o limite do logaritmo. Isso funciona porque a função exponencial é contínua e monotônica: se \ln y \to L então y\to e^{L}. Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Defino a função cujo limite queremos:
y(x)=\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3x}.
Tomando logaritmo natural:
\ln y(x)=3x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right).
Agora vou manipular essa expressão de forma a usar um limite padrão.

Passo 4

Usarei a conhecida propriedade limite
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Isso é um limite básico (é a base para \lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e) e pode ser justificado por desenvolvimento em série ou por desigualdades. Faço a substituição u=-\dfrac{2}{x}. Quando x\to+\infty temos u\to0^{-}. Reescrevo \ln y(x) como
\ln y(x)=3x\ln\!\left(1+\underbrace{\left(-\frac{2}{x}\right)}_{u}\right) =3x\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot u.
Substituindo u=-\dfrac{2}{x} devolvo em termos de x:
\ln y(x)=3x\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot u =3x\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot\left(-\frac{2}{x}\right).

Passo 5

Agora uso que \dfrac{\ln(1+u)}{u}\to1 quando u\to0. Assim, ao fazer x\to+\infty (logo u\to0) obtemos
\lim_{x\to+\infty}\ln y(x) =\lim_{x\to+\infty} 3x\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot\left(-\frac{2}{x}\right) =3\cdot 1 \cdot (-2) =-6.
Portanto \ln y(x)\to -6.

Passo 6

Como a função exponencial é contínua, o limite de y(x) é o exponencial do limite do logaritmo. Logo
\lim_{x\to+\infty} y(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3x}=e^{-6}.

Resposta

e^{-6}

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