Dada a função f(x)=x^{2}-x, simplifique a expressão \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \mathrm{~h} \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-x e pede para simplificar a expressão
\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\qquad h\neq 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}-x.
  • A expressão a simplificar é \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Está explícito que h\neq 0 (isso permite dividir por h no processo de simplificação).

Passo 2

Primeiro calcule f(x+h) substituindo x por x+h em f.
f(x+h)=(x+h)^{2}-(x+h).
Agora expandir o binômio (x+h)^{2}. Lembre que (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aplicando com a=x e b=h,
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Portanto,
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-x-h.

Passo 3

Agora forme a diferença f(x+h)-f(x). Escrevendo explicitamente:
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-x-h\bigr)-\bigl(x^{2}-x\bigr).
Distribua o sinal negativo no segundo parêntese e some termos semelhantes. Ao subtrair, os termos x^{2} se cancelam e os termos -x também se combinam:
f(x+h)-f(x)=x^{2}+2xh+h^{2}-x-h -x^{2}+x = 2xh+h^{2}-h.

Passo 4

Observe que todos os termos do numerador 2xh+h^{2}-h têm fator comum h. Fatore h:
2xh+h^{2}-h = h(2x+h-1).
Fatorar é útil porque vai permitir cancelar h com o denominador.

Passo 5

Agora substitua o numerador fatorado na expressão original e cancele h, usando que h\neq 0:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(2x+h-1)}{h}=2x+h-1.
Portanto a expressão simplificada é 2x+h-1.

Passo 6

Comentário didático e motivador: essa expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h-1 é o quociente de diferenças de f. Se você tirar o limite quando h\to 0, obtém a derivada f'(x)=2x-1. Isso é útil para provas rápidas: primeiro simplifica como fizemos, depois toma o limite se a questão pedir a derivada.

Resposta

2x+h-1

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