Dada a função
, simplifique a expressão
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para simplificar a expressão
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A expressão a simplificar é
. - Está explícito que
(isso permite dividir por no processo de simplificação).
Passo 2
Primeiro calcule
substituindo
por
em
.
Agora expandir o binômio
. Lembre que
. Aplicando com
e
,
Portanto,
Passo 3
Agora forme a diferença
. Escrevendo explicitamente:
Distribua o sinal negativo no segundo parêntese e some termos semelhantes. Ao subtrair, os termos
se cancelam e os termos
também se combinam:
Passo 4
Observe que todos os termos do numerador
têm fator comum
. Fatore
:
Fatorar é útil porque vai permitir cancelar
com o denominador.
Passo 5
Agora substitua o numerador fatorado na expressão original e cancele
, usando que
:
Portanto a expressão simplificada é
.
Passo 6
Comentário didático e motivador: essa expressão
é o quociente de diferenças de
. Se você tirar o limite quando
, obtém a derivada
. Isso é útil para provas rápidas: primeiro simplifica como fizemos, depois toma o limite se a questão pedir a derivada.