{ }^{\text {a }} Questão. (2,5 pts) Considere à função f definida por
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+x-1}-\sqrt{x}}{x-1}
(a) Calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x) usando apenas manipulações algébricas.
(b) Usando a Regra de L’Hôspital verifique que \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to 1}f(x),\quad f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+x-1}-\sqrt{x}}{x-1},
pelas duas abordagens: (a) manipulação algébrica (racionalização de numerador) e (b) Regra de L’H^opital. Vamos usar conceitos de limites de indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, racionalização e derivadas.

Passo 2

Racionalizamos o numerador de f(x) multiplicando por
\frac{\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x}}.
Assim,
f(x) =\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+x-1}-\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x}\bigr)}{(x-1)\bigl(\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac{x^{2}+x-1 - x}{(x-1)\bigl(\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac{x^{2}-1}{(x-1)\bigl(\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x}\bigr)}.
Como x^{2}-1=(x-1)(x+1), para x\neq1 fica
f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x}}.

Passo 3

Agora calculamos o limite da forma simplificada:
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x}} =\frac{1+1}{\sqrt{1+1-1}+\sqrt{1}} =\frac{2}{1+1} =1.

Passo 4

Para usar a Regra de L’H^opital verificamos a indeterminação
\tfrac{0}{0} quando x\to1. Derivando numerador e denominador:
numerador N(x)=\sqrt{x^{2}+x-1}-\sqrt{x} tem
N'(x) =\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x-1}} -\frac{1}{2\sqrt{x}},
e denominador D(x)=x-1 tem D'(x)=1. Logo,
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}\frac{N'(x)}{D'(x)} =\lim_{x\to1}\Bigl(\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr).
Substituindo x=1:
\frac{2\cdot1+1}{2\cdot1}-\frac{1}{2\cdot1} =\frac{3}{2}-\frac{1}{2} =1.

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1.
(b) Usando a Regra de L’H^opital, obt’em-se tamb’em \displaystyle1.

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