Questão. (2,5 pts) Considere à função
definida por
(a) Calcule
usando apenas manipulações algébricas.
(b) Usando a Regra de L’Hôspital verifique que
.
(b) Usando a Regra de L’Hôspital verifique que
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
pelas duas abordagens: (a) manipulação algébrica (racionalização de numerador) e (b) Regra de L’H^opital. Vamos usar conceitos de limites de indeterminação do tipo
, racionalização e derivadas.
Passo 2
Racionalizamos o numerador de
multiplicando por
Assim,
Como
, para
fica
Passo 3
Agora calculamos o limite da forma simplificada:
Passo 4
Para usar a Regra de L’H^opital verificamos a indeterminação
quando
. Derivando numerador e denominador:
numerador tem
numerador
e denominador
tem
. Logo,
Substituindo
:
Resposta
(a)
.
(b) Usando a Regra de L’H^opital, obt’em-se tamb’em .
(b) Usando a Regra de L’H^opital, obt’em-se tamb’em