Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O assunto é limites de funções trigonométricas e vamos precisar usar a identidade
e as aproximações para pequenos ângulos:
e
.
Passo 2
Reescrevendo
como
, a expressão fica:
Passo 3
[
\frac{x,\sec(5x)}{\sin(2x)} = \frac{x}{\sin(2x),\cos(5x)}.
]\n
\frac{x,\sec(5x)}{\sin(2x)} = \frac{x}{\sin(2x),\cos(5x)}.
]\n
Passo 4
Agora usamos que
e
. Logo, separando o limite e aplicando essas propriedades, temos:
[
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(2x)\cos(5x)}
= \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(2x)} \cdot \lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(5x)}
= \frac12 \cdot 1 = \frac12.
]
[
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(2x)\cos(5x)}
= \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(2x)} \cdot \lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(5x)}
= \frac12 \cdot 1 = \frac12.
]