Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite:
Estamos falando de cálculo de limites, uma parte da matemática que estuda o comportamento de funções à medida que as variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
Denominador:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a fração para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador
e o denominador
.
Fatorando o numerador:
Procuramos um fator comum ou usamos o método de agrupamento.
Procuramos um fator comum ou usamos o método de agrupamento.
Agrupando:
Agora, percebemos que
é uma diferença de quadrados:
Então, o numerador fatorado fica:
Fatorando o denominador:
Precisamos encontrar dois números que multiplicam -6 e somam 1. Esses números são 3 e -2.
Então, o denominador fatorado é:
Passo 4
Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos escrever a expressão simplificada:
Perceba que
aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que
, o que está de acordo com o limite que estamos calculando).
Após simplificar:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão simplificada para encontrar o limite:
Resposta
O limite é
.