Calcule os seguintes limites:
lim x 2 x^3-2 x^2-x+2x^2+x-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite:
limx 2 x^3 - 2x^2 - x + 2x^2 + x - 6
Estamos falando de cálculo de limites, uma parte da matemática que estuda o comportamento de funções à medida que as variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
2^3 - 2 cdot 2^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0
Denominador:
2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0
Obtemos uma forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos simplificar a fração para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^3 - 2x^2 - x + 2 e o denominador x^2 + x - 6 .
Fatorando o numerador:
Procuramos um fator comum ou usamos o método de agrupamento.
Agrupando:
(x^3 - 2x^2) + (-x + 2) = x^2(x - 2) -1(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2)
Agora, percebemos que x^2 - 1 é uma diferença de quadrados:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, o numerador fatorado fica:
(x - 2)(x - 1)(x + 1)
Fatorando o denominador:
x^2 + x - 6
Precisamos encontrar dois números que multiplicam -6 e somam 1. Esses números são 3 e -2.
x^2 + 3x - 2x - 6 = x(x + 3) -2(x + 3) = (x - 2)(x + 3)
Então, o denominador fatorado é:
(x - 2)(x + 3)

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos escrever a expressão simplificada:
(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 3)
Perceba que (x - 2) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que x neq 2 , o que está de acordo com o limite que estamos calculando).
Após simplificar:
(x - 1)(x + 1)x + 3

Passo 5

Agora, substituímos x = 2 na expressão simplificada para encontrar o limite:
(2 - 1)(2 + 1)2 + 3 = (1)(3)5 = 35

Resposta

O limite é 35 .

Exercícios relacionados