Determine
As assíntotas verticais à função f, dada por x-1x^2+3 x+2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função f(x) = x-1x^2+3x+2 e precisamos descobrir as assíntotas verticais dela. Isso faz parte da matéria de funções racionais, onde a gente analisa os comportamentos das funções quando o denominador se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e ver onde ele se anula, pois nesses pontos a função pode ter assíntotas verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 3x + 2 . Para fatorar um polinômio quadrático como esse, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então, podemos escrever:
x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos identificar onde ele se torna zero, porque nesses pontos a função pode ter assíntotas verticais. Resolver (x + 1)(x + 2) = 0 nos dá:
x + 1 = 0 Rightarrow x = -1
x + 2 = 0 Rightarrow x = -2

Passo 4

Temos dois valores críticos: x = -1 e x = -2 . Para saber se nesses pontos realmente existem assíntotas verticais, precisamos verificar se o numerador também se anula nesses mesmos pontos.
Vamos calcular o numerador x - 1 para x = -1 e x = -2 :
Para x = -1 :
-1 - 1 = -2 neq 0
Para x = -2 :
-2 - 1 = -3 neq 0

Passo 5

Como o numerador não se zera em nenhum dos pontos onde o denominador se anula, isso significa que nesses valores de x a função realmente tende ao infinito, indicando a presença de assíntotas verticais.

Resposta

As assíntotas verticais da função f(x) = x-1x^2+3x+2 são x = -1 e x = -2 .

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