Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, mais especificamente com funções trigonométricas e suas propriedades quando $ x $ se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de um limite fundamental envolvendo o seno de um ângulo pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um limite muito importante em cálculo:
Esse limite nos diz que, quando $ x $ se aproxima de zero, $ \sin(x) $ se comporta aproximadamente como $ x $. Isso é super útil para resolver limites que envolvem o seno de uma função.
Passo 3
No nosso caso, temos $ \sin(3x) $ no numerador. Podemos reescrever a expressão usando uma substituição para facilitar:
Vamos chamar $ u = 3x $. Quando $ x $ se aproxima de 0, $ u $ também se aproxima de 0.
Então, substituindo, a expressão fica:
Passo 4
Agora, aplicamos o limite conhecido que mencionamos no Passo 2:
Então, substituindo na nossa expressão:
Resposta
O limite é igual a $ \dfrac{3}{2} $.