Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta quando o ângulo está próximo de zero e, possivelmente, aplicar uma regra de derivação conhecida como Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0. Sabemos que
, então tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
se aproxima de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em uma forma indeterminada como
ou
, então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Ou seja,
desde que esse limite exista.
Passo 4
Vamos então derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Passo 6
Agora, podemos substituir diretamente
nas funções derivadas, já que
:
Resposta
O limite é igual a
.