Calcule os seguintes limites:
lim x 0 sen(2 x)sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limx 0 sin(2x)sin(x). Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta quando o ângulo está próximo de zero e, possivelmente, aplicar uma regra de derivação conhecida como Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 0. Sabemos que sin(0) = 0, então tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x se aproxima de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo 00, onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) resulta em uma forma indeterminada como 00 ou inftyinfty, então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Ou seja,
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que esse limite exista.

Passo 4

Vamos então derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de sin(2x) em relação a x:
ddx sin(2x) = 2 cos(2x)
  • Derivada de sin(x) em relação a x:
ddx sin(x) = cos(x)

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
limx 0 sin(2x)sin(x) = limx 0 2 cos(2x)cos(x)

Passo 6

Agora, podemos substituir diretamente x = 0 nas funções derivadas, já que cos(0) = 1:
2 cos(0)cos(0) = 2 times 11 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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