Calcule os seguintes limites:
lim x 0 sin (-x)sin (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limx to 0 sin(-x)sin(3x). O conteúdo envolvido é limite de funções trigonométricas em ponto crítico, e vamos precisar das propriedades de função ímpar e do limite fundamental limtto0sin(t)t=1.

Passo 2

Usando a propriedade de função ímpar, sabemos que
sin(-x) = -sin(x)
Substituindo na expressão original, temos
sin(-x)sin(3x) = -sin(x)sin(3x)

Passo 3

Para avaliar limxto0 sin(x)sin(3x), reescrevemos usando o limite fundamental:
sin(x)sin(3x) = sin(x)/xsin(3x)/(3x) cdot x3x

Passo 4

Como limxto0sin(x)x = 1 e limxto0sin(3x)3x = 1, o produto acima tende a
1 cdot 1 cdot 13 = 13

Passo 5

Levando em conta o sinal negativo que surgiu da função ímpar, concluímos que o limite original é
-13

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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