Calcule os seguintes limites:
lim x -infty e^-7 x-2 e^3 x-e^xe^-x+16 e^10 x+2 e^-4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -inftye^-7x-2e^3x-e^xe^-x+16e^10x+2e^-4x. O conteúdo é limites de funções envolvendo exponenciais, e vamos usar os comportamentos assintóticos de e^ax quando xto -infty.

Passo 2

Quando xto -infty, para um coeficiente a>0 temos e^axto 0, e para a<0 temos e^ax=e^|a|,|x|to +infty. No numerador, o termo dominante é e^-7x (pois -7<0). No denominador, os termos que crescem são e^-x e 2e^-4x, mas o dominante é 2e^-4x (pois cresce mais rápido).

Passo 3

Para simplificar, fatoramos o termo dominante de cada parte. No numerador fatoramos e^-7x:
e^-7x-2e^3x-e^x=e^-7xl(1-2e^10x-e^8xr)
No denominador fatoramos e^-4x:
e^-x+16e^10x+2e^-4x=e^-4xl(e^3x+16e^14x+2r)
Assim o quociente vira
e^-7x-2e^3x-e^xe^-x+16e^10x+2e^-4x =e^-7xe^-4x1-2e^10x-e^8xe^3x+16e^14x+2 =e^-3x1-2e^10x-e^8xe^3x+16e^14x+2

Passo 4

Agora aplicamos o limite em cada fator quando xto -infty: todos os expoentes positivos dentro da fração tendem a zero, então
1-2e^10x-e^8xe^3x+16e^14x+2to 1-0-00+0+2=tfrac12
Portanto a expressão fica e^-3xcdottfrac12=tfrac12e^-3x, que tende a +\infty quando xto -infty, pois e^-3x=e^3|x|to+infty.

Resposta

+\infty

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