Mostre que o intervalo aberto
é um conjunto aberto. Mostre com cálculos Faça a demonstração com números e formulas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o intervalo aberto
é um conjunto aberto. A matéria que estamos lidando aqui é Topologia, mais especificamente sobre conjuntos abertos na reta real. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de conjunto aberto e trabalhar com alguns cálculos básicos usando números e fórmulas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Na matemática, especialmente na topologia, um conjunto
é chamado de aberto se, para todo ponto
em
, existe um número
tal que o intervalo
está completamente dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso intervalo
. Vamos pegar um ponto qualquer
nesse intervalo. Precisamos encontrar um
positivo tal que o intervalo
não saia de
.
Passo 4
Para garantir que
esteja dentro de
,
deve ser pequeno o suficiente para que
e
. Ou seja:
Passo 5
Vamos resolver essas desigualdades para encontrar um valor adequado para
. Primeiro:
E também:
Passo 6
Então, para que ambas as condições sejam verdadeiras,
deve ser menor que o menor entre
e
. Podemos escrever isso como:
Passo 7
Com esse valor de
, garantimos que:
Isso porque
foi escolhido para que o intervalo não ultrapasse os limites de
e
.
Passo 8
Como encontramos um
para qualquer ponto
em
que satisfaz a condição necessária, de acordo com a definição, o conjunto
é realmente um conjunto aberto.
Resposta
Portanto, o intervalo aberto
é um conjunto aberto na reta real.