Mostre que o intervalo aberto (0,1) é um conjunto aberto. Mostre com cálculos Faça a demonstração com números e formulas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o intervalo aberto (0,1) é um conjunto aberto. A matéria que estamos lidando aqui é Topologia, mais especificamente sobre conjuntos abertos na reta real. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de conjunto aberto e trabalhar com alguns cálculos básicos usando números e fórmulas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Na matemática, especialmente na topologia, um conjunto U é chamado de aberto se, para todo ponto x em U, existe um número varepsilon > 0 tal que o intervalo (x - varepsilon, x + varepsilon) está completamente dentro de U.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso intervalo (0,1). Vamos pegar um ponto qualquer x nesse intervalo. Precisamos encontrar um varepsilon positivo tal que o intervalo (x - varepsilon, x + varepsilon) não saia de (0,1).

Passo 4

Para garantir que (x - varepsilon, x + varepsilon) esteja dentro de (0,1), varepsilon deve ser pequeno o suficiente para que x - varepsilon > 0 e x + varepsilon < 1. Ou seja:
x - varepsilon > 0 e x + varepsilon < 1

Passo 5

Vamos resolver essas desigualdades para encontrar um valor adequado para varepsilon. Primeiro:
x - varepsilon > 0 implies varepsilon < x
E também:
x + varepsilon < 1 implies varepsilon < 1 - x

Passo 6

Então, para que ambas as condições sejam verdadeiras, varepsilon deve ser menor que o menor entre x e 1 - x. Podemos escrever isso como:
varepsilon = minx, 1 - x

Passo 7

Com esse valor de varepsilon, garantimos que:
(x - varepsilon, x + varepsilon) subseteq (0,1)
Isso porque varepsilon foi escolhido para que o intervalo não ultrapasse os limites de 0 e 1.

Passo 8

Como encontramos um varepsilon > 0 para qualquer ponto x em (0,1) que satisfaz a condição necessária, de acordo com a definição, o conjunto (0,1) é realmente um conjunto aberto.

Resposta

Portanto, o intervalo aberto (0,1) é um conjunto aberto na reta real.

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