Encontre mathscrLf(t) para cada função a seguir:
f(t)=t e^4 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t e^{4t}. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos usar a propriedade que relaciona a transformada de t⋅f(t) com a derivada em relação a s.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
mathscrLf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
mas, em vez de calcular a integral diretamente, vamos usar a propriedade:
mathscrLt f(t)(s)=-ddsl[mathscrLf(t)(s)r]

Passo 3

Primeiro, calculamos a transformada de Laplace de e^{4t}. Pela definição ou tabela padrão, temos:
mathscrLe^4t(s)=1s-4,para Re(s)>4

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade da derivada para f(t)=e^{4t} e g(t)=t e^{4t}. Assim,
mathscrLt e^4t(s)=-ddsl(1s-4r)

Passo 5

Basta derivar 1/(s-4) em relação a s:
-ddsl((s-4)^-1r)=-l(-1r)(s-4)^-2=1(s-4)^2

Passo 6

Portanto a transformada de Laplace é 1/(s-4)^2 com região de convergência Re(s)>4, garantindo que a integral original convirja.

Resposta

1(s-4)^2, para Re(s)>4.

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