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para cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t e^{4t}. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos usar a propriedade que relaciona a transformada de t⋅f(t) com a derivada em relação a s.
Passo 2
A definição da transformada de Laplace é
mas, em vez de calcular a integral diretamente, vamos usar a propriedade:
Passo 3
Primeiro, calculamos a transformada de Laplace de e^{4t}. Pela definição ou tabela padrão, temos:
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade da derivada para f(t)=e^{4t} e g(t)=t e^{4t}. Assim,
Passo 5
Basta derivar
em relação a
:
Passo 6
Portanto a transformada de Laplace é
com região de convergência Re(s)>4, garantindo que a integral original convirja.