Calcule os seguintes limites.
lim x 0 x2-raiz4-x

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da expressão $ \frac{x}{2 - \sqrt{4 - x}} $. Vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 0 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite:
x = 0
Isso dá uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de $ 2 - \sqrt{4 - x} $ é $ 2 + \sqrt{4 - x} $. Então, vamos multiplicar:
2 - raiz4 - x

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador usando a propriedade da diferença de quadrados:
(2 - raiz4 - x)(2 + raiz4 - x) = 2^2 - (raiz4 - x)^2 = 4 - (4 - x) = 4 - 4 + x = x
Então, a expressão fica:
x(2 + raiz4 - x)x = 2 + raiz4 - x

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para $ 2 + \sqrt{4 - x} $, podemos calcular o limite substituindo $ x $ por 0:
2 + raiz4 - x

Resposta

O limite é $ 4 $.

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