Resolva as integrais utilizando as técnicas adequadas:
integral x^2+2 x+1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x^2+2 x+1x^2 , dx. Estamos lidando com uma integral de uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador pelo denominador x^2:
x^2+2x+1x^2 = x^2x^2 + 2xx^2 + 1x^2 = 1 + 2x + 1x^2
Agora a integral fica mais fácil de resolver:
integral (1 + 2x + 1x^2) , dx

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de uma soma é a soma das integrais. Além disso, precisamos lembrar das regras básicas de integração:
  • integral 1 , dx = x + C
  • integral 1x , dx = ln|x| + C
  • integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, onde n neq -1

Passo 4

Aplicando essas regras:
integral 1 , dx = x
integral 2x , dx = 2 ln|x|
integral 1x^2 , dx = integral x^-2 , dx = x^-1-1 = -1x

Passo 5

Agora, juntando todas as partes integradas:
x + 2 ln|x| - 1x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral x^2+2 x+1x^2 , dx é igual a:
x + 2 ln|x| - 1x + C

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