Questão 12 - Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
&
5-1+e^{-3 x} y^{\prime}=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
1 + e^-3x,y' = 0,
com condição inicial y(0)=1.
Conteúdo: separar variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução geral, depois aplicar a condição inicial para obter a solução particular.

Passo 2

Isolamos y'. Como y'=dydx, reescrevemos
e^-3x,dydx = -1 Longrightarrow dydx = -,e^3x
A separação de variáveis consiste em colocar todos os y num lado e todos os x no outro:
dy = -,e^3x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo, integral dy = y. Do lado direito,
integral -,e^3x,dx = -integral e^3x,dx = -13e^3x + C,
onde C é constante de integração. Logo, a solução geral é
y(x) = -13e^3x + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y(0)=1 em
1 = -13e^0 + C = -13 + C,
vemos que
C = 1 + 13 = 43

Passo 5

Substituindo C=tfrac43 na solução geral, obtemos a solução particular
y(x) = -13e^3x + 43

Resposta

y(x) = 43 ;-;13,e^3x

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