Calcule os seguintes limites:
lim (x, y) (0,+infty) xsen x(1+1y)^y

Passo 1

O enunciado pede o limite de
xsenxl(1+1yr)^y
quando xto0 e yto+infty. Este é um produto de duas parcelas que dependem de variáveis diferentes, então vamos calcular separadamente
limxto0xsenx e limyto+inftyl(1+1yr)^y.

Passo 2

Para limxto0xsenx usamos o limite fundamental da função seno, que decorre da expansão em série ou de L’Hôpital:
senxsim x quando xto0,
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limxto0xsenx=1

Passo 3

Para limyto+inftyl(1+1yr)^y usamos a definição do número e:
e = limyto+inftyl(1+1yr)^y
Portanto
limyto+inftyl(1+1yr)^y=e

Passo 4

Como as duas variáveis são independentes, o limite total é o produto dos dois limites parciais:
lim(x,y)to(0,+infty)xsenxl(1+1yr)^y = 1 times e = e

Resposta

e

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