Verifique se as EDO’s abaixo são ou não separáveis; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
y^prime=yx+1x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'=yx+1x
e pede para verificar se ela é separável; em caso afirmativo, obter a solução e classificá-la como explícita ou implícita. Aqui o conteúdo é separação de variáveis para EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevemos a EDO juntando os termos de y:
y'=y+1x Longrightarrow dydx=y+1x
Vemos que podemos separar as variáveis y e x:
dyy+1=dxx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integraldyy+1=integraldxx
o que dá
lnlvert y+1rvert=lnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponentiando, obtemos
lvert y+1rvert = e^C,lvert xrvert
Chamando K=e^C (podendo absorver o sinal de x), fica
y+1=K,x

Passo 5

Isolando y, chega-mos a
y=K,x -1,
que é a solução geral da EDO em forma explícita.

Resposta

A equação é separável e sua solução geral é
y=K,x -1,
que está em forma explícita.

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