\hline 9- & Um ponto móvel desloca-se, em um sistema de coordenadas cartesianas, ao longo da circunferência x^2+y^2=r^2 ( r constante) com uma velocidade cuja componente em x é dada por d xd t=y(cm / seg). Calcule a componente da velocidade em y, d yd t. Seja theta o deslocamento angular desse ponto móvel, medido a partir do ponto (1,0) no sentido anti-horário. Calcule a velocidade angular d thetad t. Em que sentido o ponto se desloca sobre a circunferência, no sentido horário ou no anti-horário ? Respostas. d yd t=-x, d thetad t=-1(rad / seg), portanto o ponto se desloca no sentido anti-horário. \

Passo 1

O enunciado diz que um ponto se move sobre a circunferência
x^2+y^2=r^2
e que
d xd t=y(cm/s)
Precisamos achar d yd t, depois expressar o ângulo theta de forma a obter d thetad t e, por fim, determinar o sentido do movimento sobre a circunferência. Usaremos diferenciação implícita e coordenadas polares.

Passo 2

Diferenciando implicitamente x^2+y^2=r^2 em função de t, obtemos
2xdxdt+2ydydt=0
Dividindo por 2 e isolando dydt, vem
xdxdt+ydydt=0 Longrightarrow ydydt=-xdxdt
Substituindo dxdt=y, resulta
ydydt=-x,y Longrightarrow dydt=-x

Passo 3

Na parametrização polar temos
x=rcostheta, y=rsintheta
Diferenciando x em relação a t:
dxdt=-rsintheta,dthetadt
Mas sabemos que dxdt=y=rsintheta. Logo
-rsintheta,dthetadt=rsintheta Longrightarrow -dthetadt=1 Longrightarrow dthetadt=-1(rad/s)

Passo 4

Como theta é medido no sentido anti-horário a partir de (1,0), um dthetadt negativo indica que o ângulo está diminuindo, isto é, o ponto se desloca no sentido anti-horário.

Resposta

dydt=-x, dthetadt=-1 (rad/s),
o ponto se desloca no sentido anti-horário.

Exercícios relacionados