Calcule os seguintes limites.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\,\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr).
Trata-se de um limite de função de duas variáveis e vamos aplicar o teorema do confronto (squeeze theorem), usando que \sin é limitada.

Passo 2

Sabemos que, para todo (x,y) com y\neq0,
-1 \le \sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr) \le 1.
Multiplicando por x, temos
-|x| \le x\,\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr) \le |x|.

Passo 3

Quando (x,y)\to(0,0), o valor de |x| tende a zero. Portanto, pelos limites
\lim_{(x,y)\to(0,0)} -|x| = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} |x| = 0,
o teorema do confronto implica
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\,\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr) = 0.

Resposta

0

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