Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x y}{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3xy}{\sqrt{x^4 + y^4}}
não existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar aproximações por retas y = m x.

Passo 2

Considere a aproximação pela reta y = m x com m fixo e x\neq0. Substituindo,
\frac{3x\,(m x)}{\sqrt{x^4 + (m x)^4}} = \frac{3m\,x^2}{\sqrt{x^4\bigl(1 + m^4\bigr)}} = \frac{3m\,x^2}{|x^2|\sqrt{1 + m^4}} = \frac{3m}{\sqrt{1 + m^4}}.

Passo 3

Esse valor é independente de x mas depende de m. Por exemplo:
m=1 \;\Rightarrow\;\frac{3\cdot1}{\sqrt{1+1^4}}=\frac{3}{\sqrt{2}}, \quad m=-1 \;\Rightarrow\;\frac{3\cdot(-1)}{\sqrt{1+(-1)^4} }=-\frac{3}{\sqrt{2}}.
Como \tfrac{3}{\sqrt2}\neq -\tfrac{3}{\sqrt2}, o limite varia conforme a reta de aproximação.

Passo 4

Um limite em duas variáveis só existe se for o mesmo para toda forma de aproximação. Aqui ele depende de m, logo não existe.

Resposta

O limite não existe.

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