Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{8}+x^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{8}+x^{2}}{x^{2}+y^{2}}
não existe. Isso se encaixa no conteúdo de limites de funções de duas variáveis. A ideia é usar o critério de caminhos distintos: se, ao aproximar de (0,0) por duas curvas diferentes, obtivermos limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 2

Aproximando por y=0. Nesse caso
\frac{x^{8}+x^{2}}{x^{2}+0^{2}} =\frac{x^{8}+x^{2}}{x^{2}} =x^{6}+1.
Logo
\lim_{x\to0}\bigl(x^{6}+1\bigr)=1.

Passo 3

Aproximando por y=x. Nesse caso
\frac{x^{8}+x^{2}}{x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{8}+x^{2}}{2x^{2}} =\frac{x^{6}+1}{2}.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{x^{6}+1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Como nos dois caminhos obtivemos valores diferentes (1 e \tfrac12), o limite não pode ser único. Portanto, o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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