Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Isso é um limite em duas variáveis. Vamos usar coordenadas polares e o teorema do confronto para mostrar que esse limite existe e vale um certo valor.
Passo 2
Fazemos a troca para coordenadas polares:
onde
e
. Quando
, corresponde a
.
Passo 3
Substituindo no quociente, temos
Passo 4
Agora usamos desigualdades para estimar o valor absoluto:
Como
0<= r<1 , temos
2r^2<=2r , então
E quando
rto0 , o lado direito
3rto0 .
Passo 5
Pelo teorema do confronto, o quociente fica “espremido” entre
-3r e
3r , ambos tendendo a zero. Logo o limite é