Calcule os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 2 x^4+y^3x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0) 2x^4+y^3x^2+y^2
Isso é um limite em duas variáveis. Vamos usar coordenadas polares e o teorema do confronto para mostrar que esse limite existe e vale um certo valor.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e thetain[0,2pi). Quando (x,y)to(0,0), corresponde a rto0.

Passo 3

Substituindo no quociente, temos
2x^4+y^3x^2+y^2 = 2,(rcostheta)^4 + (rsintheta)^3r^2 = 2r^2cos^4theta ;+; r,sin^3theta

Passo 4

Agora usamos desigualdades para estimar o valor absoluto:
l|2r^2cos^4theta + r,sin^3thetar| <= 2r^2,|cos^4theta| + r,|sin^3theta| <= 2r^2 + r
Como 0<= r<1, temos 2r^2<=2r, então
l|2r^2cos^4theta + r,sin^3thetar|<= 3r
E quando rto0, o lado direito 3rto0.

Passo 5

Pelo teorema do confronto, o quociente fica “espremido” entre -3r e 3r, ambos tendendo a zero. Logo o limite é
0

Resposta

lim(x,y)to(0,0) 2x^4+y^3x^2+y^2 = 0

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