Escreva a equação do plano tangente utilizando o vetor gradiente.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente a uma superfície descrita implicitamente por uma função F(x,y,z)=0, usando o vetor gradiente. Vamos lembrar que o gradiente de F, denotado nabla F, é um vetor perpendicular às curvas de nível de F e, em particular, perpendicular à superfície em cada ponto.

Passo 2

Definimos a superfície por
F(x,y,z)=0
e escolhemos um ponto de tangência P0=(x0,y0,z0) que satisfaça F(x0,y0,z0)=0. Para encontrar a orientação do plano tangente, calculamos o gradiente em P0:
nabla F(x0,y0,z0) = gl(partial Fpartial x(x0,y0,z0),;partial Fpartial y(x0,y0,z0),;partial Fpartial z(x0,y0,z0)gr)

Passo 3

O plano tangente em P0 é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que o vetor llang<= x-x0,;y-y0,;z-z0rrang<= seja ortogonal a nabla F(x0,y0,z0). Isso se traduz pelo produto escalar nulo:
nabla F(x0,y0,z0)cdotllang<= x-x0,;y-y0,;z-z0rrang<= = 0

Passo 4

Escrevendo esse produto escalar em forma de equação, temos
partial Fpartial x(x0,y0,z0),(x - x0) + partial Fpartial y(x0,y0,z0),(y - y0) + partial Fpartial z(x0,y0,z0),(z - z0) = 0

Resposta

nabla F(x0,y0,z0)cdotllang<= x-x0,;y-y0,;z-z0rrang<= = 0

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