Escreva a equação do plano tangente utilizando o vetor gradiente.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente a uma superfície descrita implicitamente por uma função
, usando o vetor gradiente. Vamos lembrar que o gradiente de
, denotado
, é um vetor perpendicular às curvas de nível de
e, em particular, perpendicular à superfície em cada ponto.
Passo 2
Definimos a superfície por
e escolhemos um ponto de tangência
que satisfaça
. Para encontrar a orientação do plano tangente, calculamos o gradiente em
:
Passo 3
O plano tangente em
é o conjunto de pontos
tais que o vetor
seja ortogonal a
. Isso se traduz pelo produto escalar nulo:
Passo 4
Escrevendo esse produto escalar em forma de equação, temos