Considere as seguintes afirmações sobre as séries:
I) A série sumn=1^+infty (2 n)!(n!)^2 é convergente.
II) A série sumn=1^+infty(-1)^n n^33^n é convergente.
III) A série sumn=1^+infty(2 n+33 n+2)^n é convergente.
Após analisar os itens acima, assinale a única opção correta:

Passo 1

O enunciado dá três séries e pede para verificar se cada uma delas é convergente. O conteúdo principal aqui são os testes de convergência de séries:
  • teste do termo geral (se lim anneq0, a série diverge),
  • teste da razão,
  • teste da raiz,
  • e critério da série alternante.

Passo 2

Analisando a série I:
sumn=1^infty(2n)!(n!)^2
Aplicamos o teste da razão:
an+1an =(2n+2)!((n+1)!)^2(2n)!(n!)^2 =(2n+2)(2n+1)(n+1)^2 ;xrightarrow[ntoinfty];;4>1
Como o limite da razão é maior que 1, a série diverge. Logo, I é falsa.

Passo 3

Analisando a série II:
sumn=1^infty(-1)^nn^33^n
Primeiro, as parcelas em módulo são bn=n^33^n e limntoinftybn=0. Para n grande, bn é decrescente. Logo, pelo critério de Leibniz, a série alternante converge.
Além disso, pelo teste da razão em bn:
bn+1bn =(n+1)^3/3^n+1n^3/3^n =13l(n+1nr)^3 ;xrightarrow[ntoinfty];13<1,
a soma dos módulos converge, ou seja, a série converge absolutamente. Portanto, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a série III:
sumn=1^inftyl(2n+33n+2r)^n
Aplicamos o teste da raiz:
limntoinftyl|anr|^1/n =limntoinfty2n+33n+2 =23<1
Como esse limite é menor que 1, a série converge absolutamente. Logo, III é verdadeira.

Passo 5

Das três, I é falsa e II e III são verdadeiras.

Resposta

Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.

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