Questão 2: (2,0) Encontre a variação de
partial zpartial x, partial zpartial y
sabendo que ln (x) cdot y+2 x z=sen(z) e utilizando seus conhecimentos sobre funções/derivadas dadas implicitamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a função implícita
yln(x)+2xz= sin(z)
Precisamos encontrar as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y usando diferenciação implícita. Vamos usar a regra do produto, a derivada de ln(x) e a regra da cadeia para sin(z).

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x, tratando y como constante e z=z(x,y):
Derivada de yln(x) ycdottfrac1x.
Derivada de 2xz pelo produto dá 2z+2x,tfracpartial zpartial x.
Regra da cadeia em sin(z) cos(z),tfracpartial zpartial x.
Logo:
yx+2z+2x,zx=cos(z),zx
Colocando os termos com zx num lado:
(2x-cos(z)),zx=-l(yx+2zr)
Daí:
zx=partial zpartial x=-yx+2z2x-cos(z)

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a y, agora x é constante e z=z(x,y):
Derivada de yln(x) ln(x).
Derivada de 2xz 2x,tfracpartial zpartial y.
Lado direito dá cos(z),tfracpartial zpartial y.
Assim:
ln(x)+2x,zy=cos(z),zy
Reagrupando:
(2x-cos(z)),zy=-ln(x)
Logo:
zy=partial zpartial y=-ln(x)2x-cos(z)

Resposta

partial zpartial x=-tfracyx+2z2x-cos(z), partial zpartial y=-ln(x)2x-cos(z)

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