Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
onde
é uma constante e a variável
tende a
no plano complexo. Informação dada: tanto o numerador quanto o denominador valem
em
(pois
e
). Não há outras condições explícitas sobre
(pode ser qualquer número complexo).
Passo 2
Queremos uma ferramenta que descreva o comportamento de
quando
é pequeno. A fórmula que usamos é a série de Taylor (expansão em série de potências) de
em torno de
. Essa série vale para
real ou complexo e é:
Explicando: cada termo é da forma
. Isso significa que, para
pequeno,
é igual a
mais termos de ordem
e superiores — em particular o termo de menor ordem é
.
Passo 3
Substituímos
e
nas séries para escrever explicitamente numerador e denominador. Para o denominador:
Para o numerador:
Agora fatoramos
em ambas as séries (isso é útil porque ambos têm fator
como menor potência):
Passo 4
Formamos a razão e cancelamos o fator comum
:
Agora olhe: quando
, todos os termos que contêm potências positivas de
(como
) tendem a zero. Então o numerador tende para
e o denominador tende para
. Portanto a razão converge para
. Em termos simbólicos:
Passo 5
(Interpretação alternativa — resultado geral) Se
e
são funções analíticas em uma vizinhança de
com
e com as primeiras derivadas
e
definidas e
, então
Aplicando isso a
e
(ambas analíticas), temos
logo
Essa segunda via é a mesma ideia da expansão em série, apresentada de forma mais compacta.
Passo 6
Um exemplo prático para fixar: se
, então a expressão tende a
. Intuitivamente, para
muito pequeno a função
é quase linear (
), então
e
, daí a razão fica aproximadamente
.