Calcule os seguintes limites:
\lim _{z \rightarrow 0} \frac{\sin w z}{\sin z}, w \in C

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{z\to 0}\frac{\sin(wz)}{\sin z},
onde w\in\mathbb{C} é uma constante e a variável z tende a 0 no plano complexo. Informação dada: tanto o numerador quanto o denominador valem 0 em z=0 (pois \sin 0=0 e \sin(w\cdot 0)=0). Não há outras condições explícitas sobre w (pode ser qualquer número complexo).

Passo 2

Queremos uma ferramenta que descreva o comportamento de \sin t quando t é pequeno. A fórmula que usamos é a série de Taylor (expansão em série de potências) de \sin t em torno de t=0. Essa série vale para t real ou complexo e é:
\sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots
Explicando: cada termo é da forma (\pm)\dfrac{t^{2k+1}}{(2k+1)!}. Isso significa que, para t pequeno, \sin t é igual a t mais termos de ordem t^3 e superiores — em particular o termo de menor ordem é t.

Passo 3

Substituímos t=z e t=wz nas séries para escrever explicitamente numerador e denominador. Para o denominador:
\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots.
Para o numerador:
\sin(wz) = wz - \frac{(wz)^3}{3!} + \frac{(wz)^5}{5!} - \cdots.
Agora fatoramos z em ambas as séries (isso é útil porque ambos têm fator z como menor potência):
\sin z = z\left(1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \cdots\right),
\sin(wz) = z\left(w - \frac{w^3 z^2}{3!} + \frac{w^5 z^4}{5!} - \cdots\right).

Passo 4

Formamos a razão e cancelamos o fator comum z:
\frac{\sin(wz)}{\sin z} = \frac{w - \dfrac{w^3 z^2}{3!} + \dfrac{w^5 z^4}{5!} - \cdots}{1 - \dfrac{z^2}{3!} + \dfrac{z^4}{5!} - \cdots}.
Agora olhe: quando z\to 0, todos os termos que contêm potências positivas de z (como z^2,z^4,\dots) tendem a zero. Então o numerador tende para w e o denominador tende para 1. Portanto a razão converge para w. Em termos simbólicos:
\lim_{z\to 0}\frac{\sin(wz)}{\sin z} = \frac{w}{1}=w.

Passo 5

(Interpretação alternativa — resultado geral) Se f e g são funções analíticas em uma vizinhança de 0 com f(0)=g(0)=0 e com as primeiras derivadas f'(0) e g'(0) definidas e g'(0)\neq 0, então
\lim_{z\to 0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(0)}{g'(0)}.
Aplicando isso a f(z)=\sin(wz) e g(z)=\sin z (ambas analíticas), temos
f'(z)=w\cos(wz)\quad\Rightarrow\quad f'(0)=w\cos 0 = w,
g'(z)=\cos z\quad\Rightarrow\quad g'(0)=\cos 0 = 1,
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\lim_{z\to 0}\frac{\sin(wz)}{\sin z}=\frac{w}{1}=w.
Essa segunda via é a mesma ideia da expansão em série, apresentada de forma mais compacta.

Passo 6

Um exemplo prático para fixar: se w=2, então a expressão tende a 2. Intuitivamente, para z muito pequeno a função \sin é quase linear ( \sin t\approx t), então \sin(wz)\approx wz e \sin z\approx z, daí a razão fica aproximadamente w.

Resposta

w

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