Exercício 13.0.1. Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva é dada por
para
.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
-
para . - O integrando é uma forma diferencial
com .
A tarefa é parametizar a integral usando, substituir por e calcular a integral definida em de a .
Passo 2
Regra prática (fórmula) para integrar uma forma
ao longo de
,
:
Explicando as peças:
é a derivada de
em relação a
; multiplicando
por
e somando as três contribuições obtemos a expressão da forma diferencial em termos de
. Depois é só integrar de
a
.
Passo 3
Calcule as derivadas das componentes de
:
Também escrevo as funções
ao longo da curva:
Passo 4
Substituindo tudo na fórmula do Passo 2:
Agora substituo
:
Passo 5
Integro termo a termo. Para cada monômio uso a primitiva padrão
.
Primitivas:
Primitivas:
Somando as primitivas, uma primitiva da integranda é
Passo 6
Avalio a primitiva entre
e
:
Calculo a soma de frações com denominador comum
:
Somando: