Mostre que as funções holomorfas são funções contínuas.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que uma função holomorfa é contínua. Informações dadas: seja U\subset\mathbb{C} um aberto e seja f:U\to\mathbb{C} uma função holomorfa em U. Queremos mostrar que, para todo ponto z_{0}\in U, vale
\lim_{z\to z_{0}} f(z) = f(z_{0}),
ou seja, f é contínua em cada z_{0}\in U.
Observação importante que usaremos: por definição, dizer que f é holomorfa em z_{0} significa que existe o derivada complexa f'(z_{0}) dada por
f'(z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}.

Passo 2

Explicando bem a definição da derivada que vamos usar. A existência do limite
\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}=f'(z_{0})
significa, em linguagem \varepsilon- \delta: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|z-z_{0}|<\delta, então
\left|\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}-f'(z_{0})\right|<\varepsilon.
Aqui eu explico as variáveis: \varepsilon é qualquer tolerância pequena que você escolha para a diferença entre o quociente e o valor f'(z_{0}); \delta é o raio do disco (retirando z_{0}) em torno de z_{0} onde essa diferença fica abaixo de \varepsilon.

Passo 3

Transformamos a desigualdade acima para trabalhar com f(z)-f(z_{0}). Multiplicando a desigualdade por |z-z_{0}| obtemos, para 0<|z-z_{0}|<\delta,
\left|f(z)-f(z_{0}) - f'(z_{0})(z-z_{0})\right| = \left|\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}-f'(z_{0})\right|\,|z-z_{0}| <\varepsilon\,|z-z_{0}|.
Essa desigualdade mostra que a diferença entre f(z) e sua aproximação linear f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0}) é pequena — na ordem de |z-z_{0}| — quando z está perto de z_{0}.

Passo 4

Agora usamos a desigualdade do passo anterior para controlar |f(z)-f(z_{0})|. Pela desigualdade triangular temos, para 0<|z-z_{0}|<\delta,
|f(z)-f(z_{0})| \le \big|f'(z_{0})\big|\,|z-z_{0}| + \left|f(z)-f(z_{0}) - f'(z_{0})(z-z_{0})\right|.
Usando o resultado do passo 3 isso dá
|f(z)-f(z_{0})| < \big(|f'(z_{0})|+\varepsilon\big)\,|z-z_{0}|.
Isto é muito útil: para fixar uma meta \eta>0 (queremos |f(z)-f(z_{0})|<\eta), escolhemos primeiro \varepsilon=1 (ou qualquer constante positiva), obtemos um \delta associado à definição da derivada, e então tomamos
\delta'=\min\!\left(\delta,\;\frac{\eta}{|f'(z_{0})|+1}\right).
Se 0<|z-z_{0}|<\delta' então
|f(z)-f(z_{0})| < (|f'(z_{0})|+1)\,|z-z_{0}| \le (|f'(z_{0})|+1)\,\delta' \le \eta.
Isso mostra diretamente, no formato \varepsilon- \delta, que \lim_{z\to z_{0}} f(z)=f(z_{0}).

Passo 5

Concluímos que para cada z_{0}\in U a função f é contínua em z_{0}, porque a existência de f'(z_{0}) (hipótese de holomorfia) permite controlar |f(z)-f(z_{0})| por uma constante vezes |z-z_{0}|, que vai a zero quando z\to z_{0}. Como z_{0} foi arbitrário, f é contínua em todo U.

Resposta

Para todo z_{0}\in U vale \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)=f(z_{0}), logo f é contínua em U.

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