Calcule os seguintes limites:
\lim _{z \rightarrow 0} \frac{|z|^{2}}{z}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{z \rightarrow 0} \frac{|z|^{2}}{z}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável z é um número complexo e o ponto de interesse é z=0.
  • A expressão \dfrac{|z|^{2}}{z} só está definida diretamente para z\neq 0 (pois divide por z).
  • Precisamos verificar se existe um valor único ao qual a expressão se aproxima quando z tende a 0 por qualquer caminho no plano complexo.

Passo 2

Lembrete útil sobre módulo e conjugado: para qualquer número complexo z vale a identidade
|z|^{2}=z\,\overline{z},
onde \overline{z} é o conjugado de z. Se z=x+iy então \overline{z}=x-iy e |z|^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Usando a identidade acima, para z\neq 0 podemos simplificar a expressão pedida:
\frac{|z|^{2}}{z}=\frac{z\,\overline{z}}{z}=\overline{z}.
Portanto, para todo z\neq 0 a expressão é exatamente o conjugado de z.

Passo 4

Agora basta calcular
\lim_{z\to 0}\overline{z}.
Uma propriedade simples e muito prática: |\overline{z}|=|z|. Então
\bigl|\overline{z}-0\bigr|=|\overline{z}|=|z|.
Quando z\to 0 temos |z|\to 0; logo |\overline{z}|\to 0, o que implica \overline{z}\to 0.

Passo 5

(Apenas para reforçar a intuição) Exemplos de caminhos:
  • Se z=t real e t\to 0, então \dfrac{|z|^{2}}{z}=t\to 0.
  • Se z=it imaginário puro e t\to 0, então \dfrac{|z|^{2}}{z}=-it\to 0.
    Ambos mostram aproximação para 0; não há dependência de caminho que dê outro valor.

Passo 6

Concluímos que o limite existe e é igual a 0: a expressão se reduz ao conjugado \overline{z} e o conjugado é contínuo em 0.

Resposta

0

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