Calcule os seguintes limites.
\lim _{z \rightarrow 2} \frac{z^{2}-4}{z-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando z tende a 2 da expressão
\frac{z^{2}-4}{z-2}.
Informações dadas:
  • A variável é z.
  • O ponto de aproximação é z\to2.
  • A função a analisar é f(z)=\dfrac{z^{2}-4}{z-2}.

Passo 2

Entendendo o que é esse limite (conceito intuitivo e útil para a prova).
  • O limite \lim_{z\to2} f(z) é o valor que f(z) se aproxima quando z fica cada vez mais perto de 2. Não importa se f(2) está definido ou não — o limite depende do comportamento próximo de 2, não necessariamente do valor no próprio 2.
  • Se tentarmos simplesmente substituir z=2 na expressão, obtemos:
\frac{2^{2}-4}{2-2}=\frac{4-4}{0}=\frac{0}{0},
que é uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é preciso manipular algebraicamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Fatorando o numerador (diferença de quadrados).
  • Lembrete rápido: a fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
para quaisquer a e b.
  • Aplicando com a=z e b=2, obtemos
z^{2}-4=(z-2)(z+2).
  • Substituindo na expressão do limite, temos
\frac{z^{2}-4}{z-2}=\frac{(z-2)(z+2)}{z-2}.

Passo 4

Cancelar o fator comum e justificar a operação para limites.
  • Para z\neq2 podemos cancelar o fator z-2, obtendo a função simplificada
g(z)=z+2 \quad\text{(válida para }z\neq2\text{)}.á
  • Justificativa: o limite \lim_{z\to2} f(z) depende apenas dos valores de f(z) para z próximos de 2, não do valor exatamente em 2. Como f(z)=g(z) para todo z próximo de 2 (exceto no próprio 2), vale
\lim_{z\to2} \frac{z^{2}-4}{z-2} = \lim_{z\to2} (z+2).
  • Observação didática: isso é um caso típico de descontinuidade removível — a função original não está definida em z=2 (ou dá indeterminação), mas a forma simplificada é contínua e nos dá o limite.

Passo 5

Usar continuidade da função simplificada para calcular o limite.
  • A função g(z)=z+2 é um polinômio (função afim) e polinômios são contínuos em todo ponto. Para funções contínuas, o limite quando z\to a é simplesmente o valor da função em a.
  • Portanto
\lim_{z\to2} (z+2) = 2+2 = 4.
Passo extra (opcional para a prova): se você conhecer a regra de L’Hôpital, pode aplicar porque havia a indeterminação \frac{0}{0}: derivando numerador e denominador obtemos \dfrac{2z}{1} e avaliando em z=2 2\cdot2=4, mesmo resultado.

Resposta

4

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