Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A variável é
. - O ponto de aproximação é
. - A função a analisar é
.
Passo 2
Entendendo o que é esse limite (conceito intuitivo e útil para a prova).
- O limite
é o valor que se aproxima quando fica cada vez mais perto de . Não importa se está definido ou não — o limite depende do comportamento próximo de , não necessariamente do valor no próprio . - Se tentarmos simplesmente substituir
na expressão, obtemos:
que é uma indeterminação do tipo
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é preciso manipular algebraicamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Fatorando o numerador (diferença de quadrados).
- Lembrete rápido: a fórmula da diferença de quadrados é
para quaisquer
e
.
- Aplicando com
e , obtemos
- Substituindo na expressão do limite, temos
Passo 4
Cancelar o fator comum e justificar a operação para limites.
- Para
podemos cancelar o fator , obtendo a função simplificada
- Justificativa: o limite
depende apenas dos valores de para próximos de , não do valor exatamente em . Como para todo próximo de (exceto no próprio ), vale
- Observação didática: isso é um caso típico de descontinuidade removível — a função original não está definida em
(ou dá indeterminação), mas a forma simplificada é contínua e nos dá o limite.
Passo 5
Usar continuidade da função simplificada para calcular o limite.
- A função
é um polinômio (função afim) e polinômios são contínuos em todo ponto. Para funções contínuas, o limite quando é simplesmente o valor da função em . - Portanto
Passo extra (opcional para a prova): se você conhecer a regra de L’Hôpital, pode aplicar porque havia a indeterminação
: derivando numerador e denominador obtemos
e avaliando em
dá
, mesmo resultado.