Exercício
Em cada problema, esboce o gráfico de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um deles como assintoticamente estável ou instável. Faça um esboço qualitativo da solução.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais equações nos foram dadas (cada uma é um caso distinto). Para cada caso é pedido:
- Esboçar qualitativamente o gráfico de
. - Determinar os pontos críticos (equilíbrios): soluções de
. - Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
- Fazer um esboço qualitativo das soluções (linha de fase / setas indicando direção do tempo).
Os quatro casos são:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Primeiro uma mini-aula prática sobre como proceder (passo a passo técnico que você pode usar na prova).
-
Definição de equilíbrio: \emph{equilíbrio} (ponto crítico) é qualquer
tal que -
Teste linear (quando aplicável): calcule
Se
então
é \emph{assintoticamente estável} (atrator local); se
então
é \emph{instável} (repulsor). Esses casos são chamados de equilibria hyperbólicos e o teste linear é conclusivo.
- Caso não-hiperbólico: se
o teste linear é inconclusivo. Aí devemos olhar para o sinal de imediatamente à esquerda e à direita de (ou expandir em série / identificar o menor expoente não nulo). Regra prática:
- Se à esquerda as setas apontam para
e à direita também, então é assintoticamente estável. - Se as setas apontam para fora dos dois lados, é instável.
- Se recebe setas só de um lado e repele do outro, é semiestável (estável só por um lado).
- Linha de fase e esboço de solução: factorize
quando possível, determine intervalos onde (soluções crescem) e onde (soluções decrescem). Desenhe uma reta vertical com os equilibria marcados e setas indicando a direção do movimento em cada intervalo; isso já é o esboço qualitativo.
Agora aplico esse método a cada item.
Passo 3
- Identificar
:
- Equilíbrio(s): resolver
dá
único equilíbrio (raiz dupla).
- Derivada:
então
(teste linear inconclusivo).
- Sinal de
: como para todo e ,
com igualdade somente em
. Portanto:
- Para
: (as soluções decrescem).
- Linha de fase (descrição):
- Para
: , então as soluções diminuem e se aproximam de . - Para
: , então as soluções diminuem ainda mais (afastam-se de , indo para em tempo finito — veja integração abaixo).
- Integração para ver comportamento no tempo (útil para concluir estabilidade lateral). Coloque
. Então . Isso é separável:
Integrando,
Assim
Se
(ou seja
), então
para todo
e
quando
(logo
). Se
(ou seja
), existe
em que o denominador zera e
(ou seja
) em tempo finito. Portanto
atrai soluções vindas da direita, mas repele as vindas da esquerda.
- Conclusão para (a):
é um equilíbrio não-hiperbólico e é semiestável: atrai por , repele por . Como não atrai ambas as direções, não é assintoticamente estável (no sentido usual); portanto classificamos como instável no sentido “não assintoticamente estável”, mais precisamente semiestável.
Esboço qualitativo das soluções: setas apontando para
vindo da direita; setas apontando para a esquerda para
(tendendo a
em tempo finito).
Passo 4
- Identificar
e fatorizar:
- Equilíbrios: raízes dos fatores:
Observação:
é raiz de multiplicidade
;
são raízes simples.
- Derivada:
Valores em equilibria:
- Sinal de
por intervalos (mais simples usando fatorização):
- Para
: e ⇒ . - Para
com : e ⇒ . - Em
: .
- Linha de fase (intervalos):
-
: ⇒ setas para a direita (movem-se em direção a ). -
: ⇒ setas para a esquerda (movem-se em direção a ).
Logoatrai por ambos os lados ⇒ é assintoticamente estável. -
: ⇒ setas para a esquerda (movem-se em direção a ). -
: ⇒ setas para a direita (afastam-se de ) ⇒ é instável (repulsor). - Para
pequeno (perto de ) o sinal é . Isso indica: - Para
pequeno: e a solução decresce e tende para quando . - Para
pequeno (isto é ): e a solução decresce em direção a , não para .
- Para
- Conclusão para (b):
-
: assintoticamente estável (atrator). -
: instável (repulsor). -
: semiestável (atrai soluções vindas da direita, repele as vindas da esquerda); portanto não é assintoticamente estável no sentido bilateral.
Esboço qualitativo das soluções: setas apontam para
vindas de ambos os lados; entre
e
as soluções decrescem para
; para
afastam-se para
.
Passo 5
- Identificar
e raízes:
Equilíbrios reais:
e
(as outras raízes de
são complexas).
- Derivada:
Avaliações:
- Sinal de
por intervalos:
- Para
: e ⇒ ⇒ soluções diminuem (movem-se para a esquerda, ficando mais negativas). - Para
: , ⇒ ⇒ soluções crescem (movem-se à direita, em direção a ). - Para
: , ⇒ ⇒ soluções decrescem (movem-se à esquerda, em direção a ).
- Conclusão para (c):
-
: instável (repulsor dos dois lados — pequenas perturbações positivas vão para a direita, pequenas negativas vão para a esquerda). -
: assintoticamente estável (atrator, aproximação a partir de e de ).
Esboço qualitativo: para
as trajetórias descem para
, para
sobem para
, e para
descem para
. Assim
atrai soluções vindas de ambos os lados positivos.
Passo 6
- Identificar
:
-
Equilíbrios: zeros quando
e (cada uma com multiplicidade ). -
Observação sobre sinal: como
e para todo , tem-se
com igualdade apenas em
ou
. Logo para
temos
: soluções crescem (setas para a direita) em todos os intervalos.
- Teste linear: podemos calcular a derivada para ver que
e (teste linear inconclusivo). Uma análise de sinal e de tempo de chegada é mais útil:
- Para
: e a solução aumenta, sendo limitado acima por até que, quando , a solução se aproxima de (não cruza o equilíbrio). O motivo: a solução é monótona crescente e é o menor ponto de equilíbrio à direita; sendo monótona e limitada, converge para um equilíbrio — só pode ser . - Para
: e é monótona crescente e limitada por ; assim converge para quando . - Para
: e cresce sem limite (vai para ).
- Tempo para atingir um equilíbrio: se quisermos saber se a solução atinge exatamente
ou em tempo finito, observe a integral
tem singularidades não integráveis (comportamento
perto de
e
perto de
), portanto o tempo necessário para atingir
ou
é infinito. Em palavras: as soluções tendem assintoticamente para
ou
(quando apropriado), nunca atingem o equilíbrio em tempo finito.
- Conclusão para (d):
-
: atrai soluções que começam com (ou seja, atrai só por um lado — vindo da esquerda) e repele (não atrai) para positivos pequenos (pois estes crescem em direção a ). Logo é semiestável (não assintoticamente estável bilateralmente). -
: atrai soluções vindas de (porém para as soluções aumentam e se afastam), logo também é semiestável (atrai por um lado, repele por outro).
Assim, nenhum dos dois é assintoticamente estável em ambos os lados; ambos são semiestáveis (estável por um lado, instável pelo outro).
Esboço qualitativo: setas para a direita em toda a reta exceto nos pontos
e
; soluções em
aumentam e tendem a
; em
aumentam e tendem a
; em
aumentam sem limite.
Resposta
(a) Ponto de equilíbrio:
. Classificação: semiestável (atrai por
, repele por
); não é assintoticamente estável bilateralmente.
(b) Pontos de equilíbrio:
.
: assintoticamente estável.
: semiestável (atrai por
, repele por
).
: instável.
(c) Pontos de equilíbrio:
.
: instável.
: assintoticamente estável.
(d) Pontos de equilíbrio:
.
Ambos são semiestáveis (cada um atrai por um lado e repele pelo outro); nenhum é assintoticamente estável bilateralmente.
Ambos são semiestáveis (cada um atrai por um lado e repele pelo outro); nenhum é assintoticamente estável bilateralmente.