Exercício

Em cada problema, esboce o gráfico de f(y), determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um deles como assintoticamente estável ou instável. Faça um esboço qualitativo da solução.
(a)
y^{\prime}=-k(y-1)^{2}, \quad k>0,-\infty<y_{o}<\infty
(b)
y^{\prime}=y^{2}\left(y^{2}-1\right), \quad-\infty<y_{o}<\infty,
(c)
y^{\prime}=y\left(1-y^{3}\right), \quad-\infty<y_{o}<\infty
(d)
y^{\prime}=y^{2}(1-y)^{2}, \quad-\infty<y_{o}<\infty .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais equações nos foram dadas (cada uma é um caso distinto). Para cada caso é pedido:
  • Esboçar qualitativamente o gráfico de f(y).
  • Determinar os pontos críticos (equilíbrios): soluções de f(y)=0.
  • Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
  • Fazer um esboço qualitativo das soluções (linha de fase / setas indicando direção do tempo).
Os quatro casos são:
(a) y' = -k(y-1)^2,\qquad k>0.
(b) y' = y^{2}\bigl(y^{2}-1\bigr)=y^{2}(y-1)(y+1).
(c) y' = y\bigl(1-y^{3}\bigr)=y(1-y^{3}).
(d) y' = y^{2}(1-y)^{2}.

Passo 2

Primeiro uma mini-aula prática sobre como proceder (passo a passo técnico que você pode usar na prova).
  1. Definição de equilíbrio: \emph{equilíbrio} (ponto crítico) é qualquer y^* tal que f(y^*)=0.
  2. Teste linear (quando aplicável): calcule f'(y)=\frac{d}{dy}f(y).
Se \,f'(y^*)<0 então y^* é \emph{assintoticamente estável} (atrator local); se \,f'(y^*)>0 então y^* é \emph{instável} (repulsor). Esses casos são chamados de equilibria hyperbólicos e o teste linear é conclusivo.
  1. Caso não-hiperbólico: se \,f'(y^*)=0 o teste linear é inconclusivo. Aí devemos olhar para o sinal de f(y) imediatamente à esquerda e à direita de y^* (ou expandir f em série / identificar o menor expoente não nulo). Regra prática:
  • Se à esquerda as setas apontam para y^* e à direita também, então é assintoticamente estável.
  • Se as setas apontam para fora dos dois lados, é instável.
  • Se recebe setas só de um lado e repele do outro, é semiestável (estável só por um lado).
  1. Linha de fase e esboço de solução: factorize f(y) quando possível, determine intervalos onde f(y)>0 (soluções crescem) e onde f(y)<0 (soluções decrescem). Desenhe uma reta vertical com os equilibria marcados e setas indicando a direção do movimento em cada intervalo; isso já é o esboço qualitativo.
Agora aplico esse método a cada item.

Passo 3

  1. Identificar f:
f(y) = -k(y-1)^2.
  1. Equilíbrio(s): resolver -k(y-1)^2=0
y^*=1,
único equilíbrio (raiz dupla).
  1. Derivada:
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl[-k(y-1)^2\bigr] = -k\cdot 2(y-1) = -2k(y-1),
então \,f'(1)=0 (teste linear inconclusivo).
  1. Sinal de f: como (y-1)^2\ge 0 para todo y e k>0,
f(y) = -k(y-1)^2 \le 0,
com igualdade somente em y=1. Portanto:
  • Para y\neq 1: f(y)<0 (as soluções decrescem).
  1. Linha de fase (descrição):
  • Para y>1: y'<0, então as soluções diminuem e se aproximam de y=1.
  • Para y<1: y'<0, então as soluções diminuem ainda mais (afastam-se de y=1, indo para -\infty em tempo finito — veja integração abaixo).
  1. Integração para ver comportamento no tempo (útil para concluir estabilidade lateral). Coloque z=y-1. Então \,z' = y' = -k z^2. Isso é separável:
\frac{dz}{z^2} = -k\,dt.
Integrando,
-\,\frac{1}{z} = -k t + C \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{z} = k t + C_1.
Assim
z(t)=\frac{1}{k t + C_1}.
Se z(0)>0 (ou seja y_0>1), então z(t)>0 para todo t\ge 0 e z(t)\to 0^+ quando t\to\infty (logo y\to 1^+). Se z(0)<0 (ou seja y_0<1), existe t_* = -1/(k z(0))>0 em que o denominador zera e z\to -\infty (ou seja y\to -\infty) em tempo finito. Portanto y=1 atrai soluções vindas da direita, mas repele as vindas da esquerda.
  1. Conclusão para (a): y=1 é um equilíbrio não-hiperbólico e é semiestável: atrai por y>1, repele por y<1. Como não atrai ambas as direções, não é assintoticamente estável (no sentido usual); portanto classificamos como instável no sentido “não assintoticamente estável”, mais precisamente semiestável.
Esboço qualitativo das soluções: setas apontando para 1 vindo da direita; setas apontando para a esquerda para y<1 (tendendo a -\infty em tempo finito).

Passo 4

  1. Identificar f e fatorizar:
f(y)=y^{2}(y^{2}-1)=y^{2}(y-1)(y+1).
  1. Equilíbrios: raízes dos fatores:
y^*=-1,\quad y^*=0,\quad y^*=1.
Observação: y=0 é raiz de multiplicidade 2; y=\pm1 são raízes simples.
  1. Derivada:
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}(y^{2}-1)\bigr)=2y(y^{2}-1)+y^{2}\cdot 2y = 2y(y^{2}-1+y^{2})=2y(2y^{2}-1).
Valores em equilibria:
f'(-1)=2(-1)(2-1)=-2<0\quad\Rightarrow\quad y=-1\\ \text{(linearmente estável)}.á
f'(1)=2(1)(2-1)=2>0\quad\Rightarrow\quad y=1\\ \text{(linearmente instável)}.á
f'(0)=2\cdot 0\cdot(2\cdot 0 -1)=0\quad\text{(teste linear inconclusivo em }y=0).
  1. Sinal de f(y) por intervalos (mais simples usando fatorização):
  • Para |y|>1: y^{2}>0 e y^{2}-1>0 f(y)>0.
  • Para -1<y<1 com y\neq 0: y^{2}>0 e y^{2}-1<0 f(y)<0.
  • Em y=0: f(0)=0.
  1. Linha de fase (intervalos):
  • (-\infty,-1): f>0 ⇒ setas para a direita (movem-se em direção a -1).
  • (-1,0): f<0 ⇒ setas para a esquerda (movem-se em direção a -1).
    Logo y=-1 atrai por ambos os lados ⇒ y=-1 é assintoticamente estável.
  • (0,1): f<0 ⇒ setas para a esquerda (movem-se em direção a 0).
  • (1,\infty): f>0 ⇒ setas para a direita (afastam-se de 1) ⇒ y=1 é instável (repulsor).
  • Para y pequeno (perto de 0) o sinal é f(y)\approx -y^{2}<0. Isso indica:
    • Para y>0 pequeno: y'\!<0 e a solução decresce e tende para 0 quando t\to\infty.
    • Para y<0 pequeno (isto é -1<y<0): y'\!<0 e a solução decresce em direção a -1, não para 0.
  1. Conclusão para (b):
  • y=-1: assintoticamente estável (atrator).
  • y=1: instável (repulsor).
  • y=0: semiestável (atrai soluções vindas da direita, repele as vindas da esquerda); portanto \,y=0 não é assintoticamente estável no sentido bilateral.
Esboço qualitativo das soluções: setas apontam para -1 vindas de ambos os lados; entre 0 e 1 as soluções decrescem para 0; para y>1 afastam-se para +\infty.

Passo 5

  1. Identificar f e raízes:
f(y)=y(1-y^{3}).
Equilíbrios reais: y=0 e y=1 (as outras raízes de 1-y^{3}=0 são complexas).
  1. Derivada:
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(y(1-y^{3})\bigr)=1\cdot(1-y^{3}) + y\cdot(-3y^{2}) = 1-y^{3}-3y^{3} = 1-4y^{3}.
Avaliações:
f'(0)=1>0\quad\Rightarrow\quad y=0\\ \text{é instável (repulsor).}éá
f'(1)=1-4=-3<0\quad\Rightarrow\quad y=1\\ \text{é assintoticamente estável.}éá
  1. Sinal de f por intervalos:
  • Para y<0: y<0 e 1-y^{3}>1- (\text{negativo})>0 f(y)=y(1-y^3)<0 ⇒ soluções diminuem (movem-se para a esquerda, ficando mais negativas).
  • Para 0<y<1: y>0, 1-y^{3}>0 f(y)>0 ⇒ soluções crescem (movem-se à direita, em direção a 1).
  • Para y>1: y>0, 1-y^{3}<0 f(y)<0 ⇒ soluções decrescem (movem-se à esquerda, em direção a 1).
  1. Conclusão para (c):
  • y=0: instável (repulsor dos dois lados — pequenas perturbações positivas vão para a direita, pequenas negativas vão para a esquerda).
  • y=1: assintoticamente estável (atrator, aproximação a partir de 0<y<1 e de y>1).
Esboço qualitativo: para y<0 as trajetórias descem para -\infty, para 0<y<1 sobem para 1, e para y>1 descem para 1. Assim 1 atrai soluções vindas de ambos os lados positivos.

Passo 6

  1. Identificar f:
f(y)=y^{2}(1-y)^{2}.
  1. Equilíbrios: zeros quando y=0 e y=1 (cada uma com multiplicidade 2).
  2. Observação sobre sinal: como y^{2}\ge 0 e (1-y)^{2}\ge 0 para todo y, tem-se
f(y)\ge 0
com igualdade apenas em y=0 ou y=1. Logo para y\neq 0,1 temos y'>0: soluções crescem (setas para a direita) em todos os intervalos.
  1. Teste linear: podemos calcular a derivada para ver que f'(0)=0 e f'(1)=0 (teste linear inconclusivo). Uma análise de sinal e de tempo de chegada é mais útil:
  • Para y<0: y'>0 e a solução aumenta, sendo limitado acima por 0 até que, quando t\to\infty, a solução se aproxima de 0 (não cruza o equilíbrio). O motivo: a solução é monótona crescente e 0 é o menor ponto de equilíbrio à direita; sendo monótona e limitada, converge para um equilíbrio — só pode ser 0.
  • Para 0<y<1: y'>0 e y(t) é monótona crescente e limitada por 1; assim converge para 1 quando t\to\infty.
  • Para y>1: y'>0 e y(t) cresce sem limite (vai para +\infty).
  1. Tempo para atingir um equilíbrio: se quisermos saber se a solução atinge exatamente 0 ou 1 em tempo finito, observe a integral
\int \frac{dy}{y^{2}(1-y)^{2}}
tem singularidades não integráveis (comportamento \sim 1/y^{2} perto de 0 e \sim 1/(1-y)^{2} perto de 1), portanto o tempo necessário para atingir 0 ou 1 é infinito. Em palavras: as soluções tendem assintoticamente para 0 ou 1 (quando apropriado), nunca atingem o equilíbrio em tempo finito.
  1. Conclusão para (d):
  • y=0: atrai soluções que começam com y<0 (ou seja, atrai só por um lado — vindo da esquerda) e repele (não atrai) para y positivos pequenos (pois estes crescem em direção a 1). Logo y=0 é semiestável (não assintoticamente estável bilateralmente).
  • y=1: atrai soluções vindas de 0<y<1 (porém para y>1 as soluções aumentam e se afastam), logo y=1 também é semiestável (atrai por um lado, repele por outro).
    Assim, nenhum dos dois é assintoticamente estável em ambos os lados; ambos são semiestáveis (estável por um lado, instável pelo outro).
Esboço qualitativo: setas para a direita em toda a reta exceto nos pontos 0 e 1; soluções em (-\infty,0) aumentam e tendem a 0; em (0,1) aumentam e tendem a 1; em (1,\infty) aumentam sem limite.

Resposta

(a) Ponto de equilíbrio: y=1. Classificação: semiestável (atrai por y>1, repele por y<1); não é assintoticamente estável bilateralmente.
(b) Pontos de equilíbrio: y=-1,\;y=0,\;y=1.
y=-1: assintoticamente estável.
y=0: semiestável (atrai por y>0, repele por y<0).
y=1: instável.
(c) Pontos de equilíbrio: y=0,\;y=1.
y=0: instável.
y=1: assintoticamente estável.
(d) Pontos de equilíbrio: y=0,\;y=1.
Ambos são semiestáveis (cada um atrai por um lado e repele pelo outro); nenhum é assintoticamente estável bilateralmente.

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