Se uma função g(z) tende a um número não nulo L quando z\to z_0 e h(z)\to 0 com h(z)\neq0 próximo de z_0, então \bigl(g(z)/h(z)\bigr) tem módulo que cresce sem limite quando z\to z_0. Intuição: dividir um valor com módulo fixo por algo cujo módulo vai para 0 faz o quociente ter módulo arbitrariamente grande.
Passo 4
Fazer um argumento simples e direto com o módulo (para ver que o quociente fica arbitrariamente grande):
Como \lim_{z\to 2i}\bigl(z^{3}-8i\bigr)=-16i, existe um raio \delta>0 e uma constante c>0 tais que, para 0<|z-2i|<\delta,
Como |z-2i|\to 0 quando z\to 2i, o lado direito \dfrac{c}{|z-2i|} tende para +\infty. Logo o módulo do quociente tende a +\infty, isto é, o quociente não tem limite finito.
Passo 5
Dar um exemplo concreto de trajetórias para intuir melhor:
Se tomarmos z=2i+t com t\in\mathbb{R}, t\to 0, então
\frac{z^{3}-8i}{z-2i}=\frac{(2i+t)^3-8i}{t},
e o numerador tende a -16i enquanto o denominador tende a 0, de modo que o quociente tem módulo que cresce como \sim |{-16i}|/|t| e vai para +\infty. Isso confirma que não há limite complexo finito.
Passo 6
Conclusão clara e amigável: como o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a zero, o quociente fica arbitrariamente grande em módulo. Portanto não existe limite finito — o valor do quociente diverge (o módulo tende a infinito).
Resposta
O limite não existe (o quociente diverge, o módulo tende a +\infty).