Calcule os seguintes limites.
\lim _{z \rightarrow 2 i} \frac{z^{3}-8 i}{z-2 i}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{z\rightarrow 2i} \frac{z^{3}-8i}{z-2i}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável z é complexa e aproxima-se de 2i.
  • O numerador é z^{3}-8i.
  • O denominador é z-2i.
  • O que se quer é o comportamento do quociente quando z fica arbitrariamente próximo de 2i.

Passo 2

Avaliar o numerador no ponto z=2i para ver se temos uma indeterminação:
(2i)^3 = 8\,i^3 = 8(-i) = -8i.
Portanto
\text{numerador em } z=2i \;=\; (2i)^3 - 8i \;=\; -8i - 8i \;=\; -16i.
O denominador em z=2i é 2i-2i=0. Logo, ao aproximar z de 2i obtemos um caso do tipo “número não nulo dividido por algo que tende a zero”.

Passo 3

Explicar por que isso impede a existência de um limite finito:
  • Polinômios são funções contínuas no plano complexo, então
\lim_{z\to 2i} \bigl(z^{3}-8i\bigr) = (2i)^3 - 8i = -16i,
um número não nulo.
  • Se uma função g(z) tende a um número não nulo L quando z\to z_0 e h(z)\to 0 com h(z)\neq0 próximo de z_0, então \bigl(g(z)/h(z)\bigr) tem módulo que cresce sem limite quando z\to z_0. Intuição: dividir um valor com módulo fixo por algo cujo módulo vai para 0 faz o quociente ter módulo arbitrariamente grande.

Passo 4

Fazer um argumento simples e direto com o módulo (para ver que o quociente fica arbitrariamente grande):
Como \lim_{z\to 2i}\bigl(z^{3}-8i\bigr)=-16i, existe um raio \delta>0 e uma constante c>0 tais que, para 0<|z-2i|<\delta,
\bigl|z^{3}-8i\bigr| \ge c>0.
Para esses z temos
\left|\frac{z^{3}-8i}{z-2i}\right| \ge \frac{c}{|z-2i|}.
Como |z-2i|\to 0 quando z\to 2i, o lado direito \dfrac{c}{|z-2i|} tende para +\infty. Logo o módulo do quociente tende a +\infty, isto é, o quociente não tem limite finito.

Passo 5

Dar um exemplo concreto de trajetórias para intuir melhor:
  • Se tomarmos z=2i+t com t\in\mathbb{R}, t\to 0, então
\frac{z^{3}-8i}{z-2i}=\frac{(2i+t)^3-8i}{t},
e o numerador tende a -16i enquanto o denominador tende a 0, de modo que o quociente tem módulo que cresce como \sim |{-16i}|/|t| e vai para +\infty. Isso confirma que não há limite complexo finito.

Passo 6

Conclusão clara e amigável: como o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a zero, o quociente fica arbitrariamente grande em módulo. Portanto não existe limite finito — o valor do quociente diverge (o módulo tende a infinito).

Resposta

O limite não existe (o quociente diverge, o módulo tende a +\infty).

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