Calcule os seguintes limites.
\lim _{z \rightarrow i} z^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{z \rightarrow i} z^{2}+3.
Informações dadas:
  • A variável z é um número complexo.
  • A aproximação é em direção ao ponto i no plano complexo.
  • A função cujo limite queremos é z \mapsto z^{2}+3.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): em análise complexa, limites funcionam de maneira análoga aos limites em \mathbb{R}. Operações polinomiais (soma, produto, potência) são contínuas no plano complexo. Isso significa que, para uma função polinomial p(z), vale a propriedade
\lim_{z\to z_0} p(z) = p(z_0).
Intuitivamente: se z fica muito próximo de z_0, então z^2 fica muito próximo de z_0^2, e somar 3 não muda essa propriedade. Assim, para polinômios basta substituir o ponto de aproximação na expressão.

Passo 3

Aplicando a propriedade de continuidade (substituição direta), obtemos
\lim_{z \rightarrow i} z^{2}+3 = i^{2}+3.

Passo 4

Calcular i^{2}. Pela definição do número imaginário unitário,
i^{2} = -1.

Passo 5

Substituindo em i^{2}+3 ficamos com
i^{2}+3 = (-1)+3.

Resposta

2

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