Considere os dados referentes ao consumo de água, em
, de 75 contas da CORSAN.
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11
(a) Agrupar os dados em uma distribuição de frequência, em intervalos fechados à direita e com amplitude 10. Utilize o limite inferior da distribuição igual à zero.
(b) Determine as frequências simples e acumuladas (absolutas e relativas).
(c) Construa o correspondente histograma de frequências relativas.
(d) Calcule as medidas de tendência central: moda, média e mediana. Interprete.
| 32 | 40 | 22 | 11 | 34 | 40 | 16 | 26 | 23 | 31 | 27 | 10 | 38 | 17 | 13 |
| 45 | 25 | 10 | 18 | 23 | 35 | 22 | 30 | 14 | 18 | 20 | 13 | 24 | 35 | 29 |
| 33 | 48 | 20 | 12 | 31 | 39 | 17 | 58 | 19 | 16 | 12 | 21 | 15 | 12 | 20 |
| 51 | 12 | 19 | 15 | 41 | 29 | 25 | 13 | 23 | 32 | 14 | 27 | 43 | 37 | 21 |
| 28 | 37 | 26 | 44 | 11 | 53 | 38 | 46 | 17 | 36 | 28 | 49 | 56 | 19 | 11 |
(b) Determine as frequências simples e acumuladas (absolutas e relativas).
(c) Construa o correspondente histograma de frequências relativas.
(d) Calcule as medidas de tendência central: moda, média e mediana. Interprete.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas claras:
- (a) Agrupar os
dados em classes com amplitude , intervalos fechados à direita e limite inferior da distribuição igual a zero. - (b) Calcular as frequências simples (absolutas) e acumuladas, e as frequências relativas simples e acumuladas.
- (c) Construir o histograma de frequências relativas correspondente.
- (d) Calcular e interpretar as medidas de tendência central: moda, média e mediana.
Informações fornecidas (dados brutos; total de observações):
Os consumos (em
) são os
valores listados no enunciado (não há valores negativos nem zeros explícitos; máximo observado
). O enunciado exige classes de amplitude
e intervalos fechados à direita, com limite inferior igual a
.
Passo 2
Definição das classes (fechadas à direita, amplitude
, limite inferior
):
Vou contar quantos dados caem em cada classe (contagem feita a partir dos
valores fornecidos). A contagem por valor inteiro foi feita e resumida por classe; segue a frequência absoluta simples de cada classe:
Verificação da soma:
Passo 3
Cálculo das frequências relativas simples e das acumuladas.
Frequência relativa simples (proporção) é dada por
Calculando:
Frequências acumuladas absolutas
:
Frequências relativas acumuladas
:
(valores aproximados com 4 casas decimais quando necessário).
Observação didática rápida sobre interpretação: a frequência relativa simples
nos diz a proporção dos consumidores que estão naquela classe;
nos diz a proporção acumulada até o limite direito da classe
.
Passo 4
Construção do histograma de frequências relativas (explicação prática para desenhar na prova).
Dois modos de construir (ambos corretos; escolher conforme referência do professor):
- Modo A (barra com altura igual à frequência relativa): por classes de mesma largura, é comum traçar barras com alturas
. As áreas das barras não serão numericamente iguais às proporções se se espera que a área represente a proporção, mas para classes de mesma largura comparar alturas é suficiente. - Modo B (densidade de frequência relativa — área = proporção): altura da barra =
. Como a largura é , a altura em densidade será . Assim a área de cada barra (altura × largura) será exatamente , i.e. a proporção da amostra nessa classe.
Números práticos (para desenhar):
- Alturas (modo A, altura = frequência relativa):
- Alturas (modo B, densidade =
, caso se queira que a área represente a proporção):
Instruções para desenhar: no eixo horizontal marque as classes
; no eixo vertical coloque a escala de alturas (se usar modo A a escala vai de
a
; se usar modo B a escala vai de
a
). Para cada classe desenhe um retângulo com a largura da classe (10 unidades no eixo
) e a altura conforme os números acima.
Passo 5
Cálculo da média (média aritmética) usando todos os
dados brutos.
Fórmula da média amostral:
Somando todos os valores (agrupando por valor inteiro e multiplicando pela sua contagem) obtém-se
Logo
Explicação: a média é a soma dos consumos dividida pelo número de contas; representa o consumo médio por conta na amostra.
Passo 6
Cálculo da mediana.
Para
ímpar, a mediana é o valor na posição
. Aqui:
Ordenando os dados e usando as frequências acumuladas por valor inteiro, o
menor valor é
(porque a frequência acumulada até
é
e até
é
). Logo a mediana é
Interpretação: metade das contas consome até
e metade consome
ou mais.
Passo 7
Cálculo da moda.
Moda amostral (valor com maior ocorrência entre os dados brutos): contando ocorrências por valor inteiro, o valor que aparece mais vezes é
(ocorrências
). Portanto a moda é
Observação: pela distribuição em classes, a classe modal (classe com maior
) é
(com
). Assim, em termos de classes, o pico da distribuição está em
; em termos de valor exato o valor mais frequente observado foi
.
Passo 8
Interpretação comparativa das medidas:
-
. - A média é maior que a mediana e a moda, o que indica uma assimetria à direita (distribuição positivamente enviesada): há alguns consumos bem altos (por ex.
) que puxam a média para cima. - A mediana (
) dá uma medida centrada menos sensível a valores extremos; a moda ( ) mostra o valor mais comum observado.
Resposta
(a) Classes:
.
(b) Frequências simples (absolutas):
.
Frequências acumuladas (absolutas): .
Frequências relativas simples: .
Frequências relativas acumuladas: .
Frequências acumuladas (absolutas):
Frequências relativas simples:
Frequências relativas acumuladas:
(c) Histograma de frequências relativas — alturas por classe (altura = frequência relativa):
.
(Se preferir que a área de cada barra represente a proporção, usar altura = frequência relativa / largura .)
(Se preferir que a área de cada barra represente a proporção, usar altura = frequência relativa / largura
(d) Moda
.
Média .
Mediana .
Média
Mediana