Considere os dados referentes ao consumo de água, em m^{3}, de 75 contas da CORSAN.
32 40 22 11 34 40 16 26 23 31 27 10 38 17 13
45 25 10 18 23 35 22 30 14 18 20 13 24 35 29
33 48 20 12 31 39 17 58 19 16 12 21 15 12 20
51 12 19 15 41 29 25 13 23 32 14 27 43 37 21
28 37 26 44 11 53 38 46 17 36 28 49 56 19 11
(a) Agrupar os dados em uma distribuição de frequência, em intervalos fechados à direita e com amplitude 10. Utilize o limite inferior da distribuição igual à zero.
(b) Determine as frequências simples e acumuladas (absolutas e relativas).
(c) Construa o correspondente histograma de frequências relativas.
(d) Calcule as medidas de tendência central: moda, média e mediana. Interprete.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas claras:
  • (a) Agrupar os 75 dados em classes com amplitude 10, intervalos fechados à direita e limite inferior da distribuição igual a zero.
  • (b) Calcular as frequências simples (absolutas) e acumuladas, e as frequências relativas simples e acumuladas.
  • (c) Construir o histograma de frequências relativas correspondente.
  • (d) Calcular e interpretar as medidas de tendência central: moda, média e mediana.
Informações fornecidas (dados brutos; total de observações):
\text{N} = 75.
Os consumos (em m^{3}) são os 75 valores listados no enunciado (não há valores negativos nem zeros explícitos; máximo observado =58). O enunciado exige classes de amplitude 10 e intervalos fechados à direita, com limite inferior igual a 0.

Passo 2

Definição das classes (fechadas à direita, amplitude 10, limite inferior 0):
(0,10],\\ (10,20],\\ (20,30],\\ (30,40],\\ (40,50],\\ (50,60].
Vou contar quantos dados caem em cada classe (contagem feita a partir dos 75 valores fornecidos). A contagem por valor inteiro foi feita e resumida por classe; segue a frequência absoluta simples de cada classe:
\begin{aligned} &f_{1}=\#(0,10]=2,\\\ &f_{2}=\#(10,20]=27,\\\ &f_{3}=\#(20,30]=19,\\\ &f_{4}=\#(30,40]=16,\\\ &f_{5}=\#(40,50]=7,\\\ &f_{6}=\#(50,60]=4. \end{aligned}
Verificação da soma:
\sum_{i=1}^{6} f_{i}=2+27+19+16+7+4=75=\text{N}.

Passo 3

Cálculo das frequências relativas simples e das acumuladas.
Frequência relativa simples (proporção) é dada por
h_{i}=\dfrac{f_{i}}{N}.
Calculando:
\begin{aligned} &h_{1}=\dfrac{2}{75}=0,0267\\ (\text{aprox.}),\\\ &h_{2}=\dfrac{27}{75}=0,36,\\\ &h_{3}=\dfrac{19}{75}=0,2533\\ (\text{aprox.}),\\\ &h_{4}=\dfrac{16}{75}=0,2133\\ (\text{aprox.}),\\\ &h_{5}=\dfrac{7}{75}=0,0933\\ (\text{aprox.}),\\\ &h_{6}=\dfrac{4}{75}=0,0533\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Frequências acumuladas absolutas F_{i}=\sum_{j=1}^{i} f_{j}:
F=(2,\;29,\;48,\;64,\;71,\;75).
Frequências relativas acumuladas H_{i}=\sum_{j=1}^{i} h_{j}=\dfrac{F_{i}}{N}:
H=(0,0267,\;0,3867,\;0,64,\;0,8533,\;0,9467,\;1,0)
(valores aproximados com 4 casas decimais quando necessário).
Observação didática rápida sobre interpretação: a frequência relativa simples h_{i} nos diz a proporção dos consumidores que estão naquela classe; H_{i} nos diz a proporção acumulada até o limite direito da classe i.

Passo 4

Construção do histograma de frequências relativas (explicação prática para desenhar na prova).
Dois modos de construir (ambos corretos; escolher conforme referência do professor):
  • Modo A (barra com altura igual à frequência relativa): por classes de mesma largura, é comum traçar barras com alturas h_{i}. As áreas das barras não serão numericamente iguais às proporções se se espera que a área represente a proporção, mas para classes de mesma largura comparar alturas é suficiente.
  • Modo B (densidade de frequência relativa — área = proporção): altura da barra = \dfrac{h_{i}}{\text{largura da classe}}. Como a largura é 10, a altura em densidade será h_{i}/10. Assim a área de cada barra (altura × largura) será exatamente h_{i}, i.e. a proporção da amostra nessa classe.
Números práticos (para desenhar):
  • Alturas (modo A, altura = frequência relativa):
(0,0267,\\\ 0,36,\\\ 0,2533,\\\ 0,2133,\\\ 0,0933,\\\ 0,0533).
  • Alturas (modo B, densidade = h_{i}/10, caso se queira que a área represente a proporção):
(0,00267,\\\ 0,0360,\\\ 0,02533,\\\ 0,02133,\\\ 0,00933,\\\ 0,00533).
Instruções para desenhar: no eixo horizontal marque as classes (0,10],(10,20],\dots,(50,60]; no eixo vertical coloque a escala de alturas (se usar modo A a escala vai de 0 a \approx 0,36; se usar modo B a escala vai de 0 a \approx 0,036). Para cada classe desenhe um retângulo com a largura da classe (10 unidades no eixo x) e a altura conforme os números acima.

Passo 5

Cálculo da média (média aritmética) usando todos os 75 dados brutos.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} x_{k}.
Somando todos os valores (agrupando por valor inteiro e multiplicando pela sua contagem) obtém-se
\sum_{k=1}^{75} x_{k}=2015.
Logo
\bar{x}=\dfrac{2015}{75}=26,866\ldots\approx 26,87.
Explicação: a média é a soma dos consumos dividida pelo número de contas; representa o consumo médio por conta na amostra.

Passo 6

Cálculo da mediana.
Para N ímpar, a mediana é o valor na posição \dfrac{N+1}{2}. Aqui:
\text{posição da mediana}=\dfrac{75+1}{2}=38.çã
Ordenando os dados e usando as frequências acumuladas por valor inteiro, o 38^{\text{o}} menor valor é 25 (porque a frequência acumulada até 24 é 37 e até 25 é 39). Logo a mediana é
\text{mediana} = 25.
Interpretação: metade das contas consome até 25\\ m^{3} e metade consome 25\\ m^{3} ou mais.

Passo 7

Cálculo da moda.
Moda amostral (valor com maior ocorrência entre os dados brutos): contando ocorrências por valor inteiro, o valor que aparece mais vezes é \,12 (ocorrências =4). Portanto a moda é
\text{moda} = 12.
Observação: pela distribuição em classes, a classe modal (classe com maior f_{i}) é (10,20] (com f_{2}=27). Assim, em termos de classes, o pico da distribuição está em (10,20]; em termos de valor exato o valor mais frequente observado foi 12.

Passo 8

Interpretação comparativa das medidas:
  • \text{moda}=12 < \text{mediana}=25 < \text{média}\approx 26,87é.
  • A média é maior que a mediana e a moda, o que indica uma assimetria à direita (distribuição positivamente enviesada): há alguns consumos bem altos (por ex. 58,56,53,51) que puxam a média para cima.
  • A mediana ( 25) dá uma medida centrada menos sensível a valores extremos; a moda ( 12) mostra o valor mais comum observado.

Resposta

(a) Classes: (0,10],\\ (10,20],\\ (20,30],\\ (30,40],\\ (40,50],\\ (50,60].
(b) Frequências simples (absolutas): f=(2,\;27,\;19,\;16,\;7,\;4).
Frequências acumuladas (absolutas): F=(2,\;29,\;48,\;64,\;71,\;75).
Frequências relativas simples: h=(0,0267,\;0,36,\;0,2533,\;0,2133,\;0,0933,\;0,0533).
Frequências relativas acumuladas: H=(0,0267,\;0,3867,\;0,64,\;0,8533,\;0,9467,\;1,0).
(c) Histograma de frequências relativas — alturas por classe (altura = frequência relativa): (0,0267,\\\ 0,36,\\\ 0,2533,\\\ 0,2133,\\\ 0,0933,\\\ 0,0533).
(Se preferir que a área de cada barra represente a proporção, usar altura = frequência relativa / largura = h_{i}/10.)
(d) Moda =12.
Média \bar{x}=\dfrac{2015}{75}\approx 26,87.
Mediana =25.

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