- Seja
um ponto crítico de
e suponha que
seja de classe
na bola aberta
de centro
. Prove que para todo
em
, existe
interno ao segmento de extremidades
e
tal que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte. Informações relevantes:
- Temos um ponto
que é um ponto crítico de . Isso significa que
- A função
é de classe na bola aberta centrada em . Ou seja, e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em . - Queremos provar que para todo
em existe um ponto no interior do segmento que une a tal que
Observações geométricas úteis (dados pela bola
): como
é uma bola aberta em
, ela é convexa; assim, para todo
o segmento fechado que liga
a
está contido em
. A resolução efetiva começará no Passo 2.
Passo 2
Estratégia (informal, só para orientar): vamos reduzir o problema a um teorema de uma variável aplicando
ao segmento que une
a
. Para isso definimos uma função de uma variável
que segue
ao longo desse segmento. Em seguida aplicamos o Teorema de Taylor de ordem 2 para funções de uma variável (forma de Lagrange do resto). Depois usamos a regra da cadeia para relacionar
às derivadas parciais segundas de
.
Passo 3
Definimos o parâmetro do segmento e a composição. Para
definimos a curva (segmento)
por
Note que
e
, e
para todo
porque o segmento está contido em
. Agora definimos a função de uma variável
Como
é
em
e
é
, segue que
é
em
. Nosso objetivo será aplicar Taylor para
em torno de
.
Passo 4
Calculamos a derivada primeira
usando a regra da cadeia. Se escrevemos
e
, então por regra da cadeia
Como
e
(constantes), obtemos
Passo 5
Avaliação de
e uso do ponto crítico. Como
e
é ponto crítico, temos
e
. Portanto
Isso diz que a derivada de
em
é zero — é por isso que o termo linear desaparece na expansão de Taylor que vamos usar.
Passo 6
Calculamos a derivada segunda
. Diferenciando
novamente e aplicando a regra da cadeia para cada termo das derivadas parciais, obtemos
Lembrando que
e
, e usando que as derivadas mistas são iguais (
, já que
), reorganizamos os fatores para obter
Passo 7
Aplicamos o Teorema de Taylor de ordem 2 para a função de uma variável
em torno de
. A forma de Lagrange do resto diz que existe
tal que
Já vimos que
, e
,
. Logo
para algum
.
Passo 8
Substituímos a expressão obtida para
em
. Pelo Passo 6,
Definindo
, temos
no interior do segmento (pois
). Portanto
como queria provar.
Resposta
com
no interior do segmento que une
a
.