1. Seja \left(x_{0}, y_{0}\right) um ponto crítico de f(x, y) e suponha que f seja de classe C^{2} na bola aberta B de centro \left(x_{0}, y_{0}\right). Prove que para todo (x, y) em B, existe (\bar{x}, \bar{y}) interno ao segmento de extremidades \left(x_{0}, y_{0}\right) e (x, y) tal que
\begin{aligned} f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)= & \frac{1}{2}\left[\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(\bar{x}, \bar{y})\left(x-x_{0}\right)^{2}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(\bar{x}, \bar{y})\left(x-x_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)\right. \\ & \left.+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(\bar{x}, \bar{y})\left(y-y_{0}\right)^{2}\right] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte. Informações relevantes:
  • Temos um ponto (x_{0},y_{0}) que é um ponto crítico de f. Isso significa que
\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})=0\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})=0.
  • A função f é de classe C^{2} na bola aberta B centrada em (x_{0},y_{0}). Ou seja, f e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em B.
  • Queremos provar que para todo (x,y) em B existe um ponto (\bar{x},\bar{y}) no interior do segmento que une (x_{0},y_{0}) a (x,y) tal que
\begin{aligned} f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)= & \frac{1}{2}\Bigg[\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(\bar{x}, \bar{y})\left(x-x_{0}\right)^{2}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(\bar{x}, \bar{y})\left(x-x_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)\\\ & +\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(\bar{x}, \bar{y})\left(y-y_{0}\right)^{2}\Bigg]. \end{aligned}
Observações geométricas úteis (dados pela bola B): como B é uma bola aberta em \mathbb{R}^{2}, ela é convexa; assim, para todo (x,y)\in B o segmento fechado que liga (x_{0},y_{0}) a (x,y) está contido em B. A resolução efetiva começará no Passo 2.

Passo 2

Estratégia (informal, só para orientar): vamos reduzir o problema a um teorema de uma variável aplicando f ao segmento que une (x_{0},y_{0}) a (x,y). Para isso definimos uma função de uma variável g que segue f ao longo desse segmento. Em seguida aplicamos o Teorema de Taylor de ordem 2 para funções de uma variável (forma de Lagrange do resto). Depois usamos a regra da cadeia para relacionar g'' às derivadas parciais segundas de f.

Passo 3

Definimos o parâmetro do segmento e a composição. Para t\in[0,1] definimos a curva (segmento) \gamma(t) por
\gamma(t)=\big(x_{0}+t(x-x_{0}),\; y_{0}+t(y-y_{0})\big).
Note que \gamma(0)=(x_{0},y_{0}) e \gamma(1)=(x,y), e \gamma(t)\in B para todo t\in[0,1] porque o segmento está contido em B. Agora definimos a função de uma variável
g(t)=f\big(\gamma(t)\big)=f\big(x_{0}+t(x-x_{0}),\; y_{0}+t(y-y_{0})\big).
Como f é C^{2} em B e \gamma é C^{\infty}, segue que g é C^{2} em [0,1]. Nosso objetivo será aplicar Taylor para g em torno de t=0.

Passo 4

Calculamos a derivada primeira g'(t) usando a regra da cadeia. Se escrevemos u(t)=x_{0}+t(x-x_{0}) e v(t)=y_{0}+t(y-y_{0}), então por regra da cadeia
g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(u(t),v(t)\big)\cdot u'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\big(u(t),v(t)\big)\cdot v'(t).
Como u'(t)=x-x_{0} e v'(t)=y-y_{0} (constantes), obtemos
g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(\gamma(t)\big)\,(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}\big(\gamma(t)\big)\,(y-y_{0}).

Passo 5

Avaliação de g'(0) e uso do ponto crítico. Como \gamma(0)=(x_{0},y_{0}) e (x_{0},y_{0}) é ponto crítico, temos \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})=0 e \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})=0. Portanto
g'(0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0})=0.
Isso diz que a derivada de g em 0 é zero — é por isso que o termo linear desaparece na expansão de Taylor que vamos usar.

Passo 6

Calculamos a derivada segunda g''(t). Diferenciando g'(t) novamente e aplicando a regra da cadeia para cada termo das derivadas parciais, obtemos
\begin{aligned} g''(t)=&\; \frac{d}{dt}\!\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(\gamma(t)\big)\right](x-x_{0})+\frac{d}{dt}\!\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(\gamma(t)\big)\right](y-y_{0})\\[4pt] =&\; \Bigg(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\big(\gamma(t)\big)\,u'(t)+\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\big(\gamma(t)\big)\,v'(t)\Bigg)(x-x_{0})\\\ &\; +\Bigg(\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}\big(\gamma(t)\big)\,u'(t)+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\big(\gamma(t)\big)\,v'(t)\Bigg)(y-y_{0}). \end{aligned}
Lembrando que u'(t)=x-x_{0} e v'(t)=y-y_{0}, e usando que as derivadas mistas são iguais ( \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}, já que f\in C^{2}), reorganizamos os fatores para obter
g''(t)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\big(\gamma(t)\big)\,(x-x_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\big(\gamma(t)\big)\,(x-x_{0})(y-y_{0})+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\big(\gamma(t)\big)\,(y-y_{0})^{2}.]

Passo 7

Aplicamos o Teorema de Taylor de ordem 2 para a função de uma variável g em torno de t=0. A forma de Lagrange do resto diz que existe \xi\in(0,1) tal que
g(1)=g(0)+g'(0)\cdot 1+\frac{1}{2}g''(\xi)\cdot 1^{2}.
Já vimos que g'(0)=0, e g(1)=f(x,y), g(0)=f(x_{0},y_{0}). Logo
f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=\frac{1}{2}\,g''(\xi)
para algum \xi\in(0,1).

Passo 8

Substituímos a expressão obtida para g''(t) em t=\xi. Pelo Passo 6,
g''(\xi)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\big(\gamma(\xi)\big)\,(x-x_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\big(\gamma(\xi)\big)\,(x-x_{0})(y-y_{0})+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\big(\gamma(\xi)\big)\,(y-y_{0})^{2}.
Definindo (\bar{x},\bar{y})=\gamma(\xi), temos (\bar{x},\bar{y}) no interior do segmento (pois \xi\in(0,1)). Portanto
\begin{aligned} f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=\frac{1}{2}\Big[&\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(\bar{x},\bar{y})\,(x-x_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(\bar{x},\bar{y})\,(x-x_{0})(y-y_{0})\\\ &+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(\bar{x},\bar{y})\,(y-y_{0})^{2}\Big], \end{aligned}
como queria provar.

Resposta

\begin{aligned} f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)= & \frac{1}{2}\Bigg[\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(\bar{x}, \bar{y})\left(x-x_{0}\right)^{2}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(\bar{x}, \bar{y})\left(x-x_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)\\\ & +\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(\bar{x}, \bar{y})\left(y-y_{0}\right)^{2}\Bigg], \end{aligned}
com (\bar{x},\bar{y}) no interior do segmento que une (x_{0},y_{0}) a (x,y).

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