1. Seja U(x, y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} a energia potencial associada do campo \vec{F}.
    a) Determine \vec{F}.
    b) Uma partícula de massa m=1 é abandonada na posição (1,1) com velocidade inicial \overrightarrow{v_{0}}=(-1,1). Sendo \vec{F} a única força atuando sobre a partícula, determine a posição \gamma(t) da partícula no instante t. Desenhe a trajetória descrita pela partícula.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial \displaystyle U(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o campo de forças \vec{F} associado a essa energia potencial.
  2. (b) Para uma partícula de massa m=1 abandonada em (1,1) com velocidade inicial \overrightarrow{v_{0}}=(-1,1), supondo que \vec{F} é a única força atuando, determinar a posição \gamma(t) da partícula no instante t e desenhar (descrever) a trajetória.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A energia potencial é \displaystyle U(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}.
  • Massa da partícula: \displaystyle m=1.
  • Posição inicial: \displaystyle \gamma(0)=(1,1).
  • Velocidade inicial: \displaystyle \gamma'(0)=\overrightarrow{v_{0}}=(-1,1).
  • \vec{F} é a única força atuando (logo a equação de movimento será a equação de Newton com essa \vec{F}).

Passo 2

Entendendo a relação entre energia potencial e força (aula rápida e intuitiva).
  • Para um campo conservativo em coordenadas cartesianas, a energia potencial U(x,y) está relacionada à força por
\vec{F}(x,y) = -\nabla U(x,y).
  • Aqui \nabla U é o gradiente de U, que é o vetor formado pelas derivadas parciais: \displaystyle \nabla U = \left(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y}\right).
    Explicando cada símbolo:
    • \displaystyle \frac{\partial U}{\partial x} é a taxa de variação de U quando x varia mantendo y fixo.
    • \displaystyle \frac{\partial U}{\partial y} é a taxa de variação de U quando y varia mantendo x fixo.
  • O sinal negativo indica que a força aponta na direção de diminuição mais rápida da energia potencial (ou seja, força puxa para regiões de menor U).

Passo 3

Aplicando a definição para calcular \vec{F}.
  • Calculemos as derivadas parciais de U(x,y)=\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{2}:
\frac{\partial U}{\partial x}=x,\qquad \frac{\partial U}{\partial y}=y.
  • Portanto o gradiente é \displaystyle \nabla U=(x,y).
  • Assim, usando \vec{F}=-\nabla U, obtemos
\vec{F}(x,y)=(-x,-y).
(Isto responde a letra (a).)

Passo 4

Montando a equação de movimento (Newton) e simplificando.
  • A equação de Newton para a partícula é
m\,\gamma''(t)=\vec{F}(\gamma(t)).
  • Como m=1, temos
\gamma''(t)=\vec{F}(\gamma(t)).
  • Substituindo \vec{F}(x,y)=(-x,-y) e escrevendo \gamma(t)=(x(t),y(t)), obtemos o sistema desacoplado
x''(t)=-x(t),\qquad y''(t)=-y(t).
  • As condições iniciais são
x(0)=1,\; x'(0)=-1,\qquad y(0)=1,\; y'(0)=1.

Passo 5

Resolver a equação escalar u''(t)=-u(t) (mini-aula sobre a solução).
  • A equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
u''(t)=-u(t)
é a equação do oscilador harmônico simples. A solução geral (conhecimento padrão) é
u(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • Justificativa rápida: suponha solução da forma e^{\lambda t}; obtemos \lambda^{2}=-1 com soluções \lambda=\pm i, levando a combinações de \cos t e \sin t.

Passo 6

Aplicar a solução geral ao componente x(t) e achar constantes.
  • Para x(t) temos
x(t)=A\cos t + B\sin t.
  • Derivando:
x'(t)=-A\sin t + B\cos t.
  • Impondo as condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=-1:
x(0)=A=1,
x'(0)=B=-1.
  • Logo
x(t)=\cos t - \sin t.

Passo 7

Aplicar a solução geral ao componente y(t) e achar constantes.
  • Para y(t) temos
y(t)=C\cos t + D\sin t,
y'(t)=-C\sin t + D\cos t.
  • Usando y(0)=1 e y'(0)=1:
y(0)=C=1,
y'(0)=D=1.
  • Logo
y(t)=\cos t + \sin t.

Passo 8

Juntar os componentes e escrever \gamma(t).
  • Assim a posição da partícula é
\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(\cos t - \sin t,\;\cos t + \sin t\bigr).

Passo 9

Analisar geometricamente a trajetória (como desenhar e interpretar).
  • Calculemos x(t)^{2}+y(t)^{2}:
x(t)^{2}+y(t)^{2}=(\cos t - \sin t)^{2}+(\cos t + \sin t)^{2}.
  • Desenvolvendo:
(\cos t - \sin t)^{2}=\cos^{2}t -2\sin t\cos t+\sin^{2}t,
(\cos t + \sin t)^{2}=\cos^{2}t +2\sin t\cos t+\sin^{2}t.
  • Somando as duas expressões os termos \pm 2\sin t\cos t se cancelam e obtemos
x(t)^{2}+y(t)^{2}=2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=2.
  • Portanto a trajetória está sobre a circunferência de raio \sqrt{2} centrada na origem (0,0).
  • Velocidade: calculemos \gamma'(t):
\gamma'(t)=\bigl(-\sin t -\cos t,\; -\sin t +\cos t\bigr).
  • Norma ao quadrado:
\|\gamma'(t)\|^{2}=(-\sin t-\cos t)^{2}+(-\sin t+\cos t)^{2}=2,
logo \|\gamma'(t)\|=\sqrt{2} constante — movimento com velocidade angular unitária (velocidade linear \sqrt{2}) e sentido fixo.
  • Sentido do movimento: em t=0, \gamma(0)=(1,1) e \gamma'(0)=(-1,1). O vetor (-1,1) é o resultado da rotação de (1,1) por +90^\circ, portanto a partícula se desloca no sentido anti-horário ao redor da circunferência.
  • Resumo de desenho: uma circunferência centrada na origem, raio \sqrt{2}, ponto inicial em (1,1), movimento anti-horário com velocidade constante.

Passo 10

Verificação rápida (consistência física).
  • Energia mecânica (cinética + potencial) é preservada porque a força é conservativa. Kinetic energy inicial:
T(0)=\tfrac{1}{2}m\|\gamma'(0)\|^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot\bigl((-1)^{2}+1^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot 2=1.
  • Potencial inicial:
U(0)=\tfrac{1^{2}}{2}+\tfrac{1^{2}}{2}=1.
  • Energia total E=2. Em qualquer tempo, usando x^{2}+y^{2}=2 e \|\gamma'\|^{2}=2, temos T=\tfrac{1}{2}\cdot 2=1 e U=1, consistente.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{F}(x,y)=(-x,-y)\n(b) \displaystyle \gamma(t)=\bigl(\cos t-\sin t,\;\cos t+\sin t\bigr). Trajetória: circunferência centrada em (0,0) de raio \sqrt{2}, percorrida no sentido anti-horário.

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