Seja U(x, y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} a energia potencial associada do campo \vec{F}.
a) Determine \vec{F}.
b) Uma partícula de massa m=1 é abandonada na posição (1,1) com velocidade inicial \overrightarrow{v_{0}}=(-1,1). Sendo \vec{F} a única força atuando sobre a partícula, determine a posição \gamma(t) da partícula no instante t. Desenhe a trajetória descrita pela partícula.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial \displaystyle U(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} e pede duas coisas:
(a) Determinar o campo de forças \vec{F} associado a essa energia potencial.
(b) Para uma partícula de massa m=1 abandonada em (1,1) com velocidade inicial \overrightarrow{v_{0}}=(-1,1), supondo que \vec{F} é a única força atuando, determinar a posição \gamma(t) da partícula no instante t e desenhar (descrever) a trajetória.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A energia potencial é \displaystyle U(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}.
Massa da partícula: \displaystyle m=1.
Posição inicial: \displaystyle \gamma(0)=(1,1).
Velocidade inicial: \displaystyle \gamma'(0)=\overrightarrow{v_{0}}=(-1,1).
\vec{F} é a única força atuando (logo a equação de movimento será a equação de Newton com essa \vec{F}).
Passo 2
Entendendo a relação entre energia potencial e força (aula rápida e intuitiva).
Para um campo conservativo em coordenadas cartesianas, a energia potencial U(x,y) está relacionada à força por
\vec{F}(x,y) = -\nabla U(x,y).
Aqui \nabla U é o gradiente de U, que é o vetor formado pelas derivadas parciais: \displaystyle \nabla U = \left(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y}\right).
Explicando cada símbolo:
\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x} é a taxa de variação de U quando x varia mantendo y fixo.
\displaystyle \frac{\partial U}{\partial y} é a taxa de variação de U quando y varia mantendo x fixo.
O sinal negativo indica que a força aponta na direção de diminuição mais rápida da energia potencial (ou seja, força puxa para regiões de menor U).
Passo 3
Aplicando a definição para calcular \vec{F}.
Calculemos as derivadas parciais de U(x,y)=\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{2}:
Portanto o gradiente é \displaystyle \nabla U=(x,y).
Assim, usando \vec{F}=-\nabla U, obtemos
\vec{F}(x,y)=(-x,-y).
(Isto responde a letra (a).)
Passo 4
Montando a equação de movimento (Newton) e simplificando.
A equação de Newton para a partícula é
m\,\gamma''(t)=\vec{F}(\gamma(t)).
Como m=1, temos
\gamma''(t)=\vec{F}(\gamma(t)).
Substituindo \vec{F}(x,y)=(-x,-y) e escrevendo \gamma(t)=(x(t),y(t)), obtemos o sistema desacoplado
x''(t)=-x(t),\qquad y''(t)=-y(t).
As condições iniciais são
x(0)=1,\; x'(0)=-1,\qquad y(0)=1,\; y'(0)=1.
Passo 5
Resolver a equação escalar u''(t)=-u(t) (mini-aula sobre a solução).
A equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
u''(t)=-u(t)
é a equação do oscilador harmônico simples. A solução geral (conhecimento padrão) é
u(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Justificativa rápida: suponha solução da forma e^{\lambda t}; obtemos \lambda^{2}=-1 com soluções \lambda=\pm i, levando a combinações de \cos t e \sin t.
Passo 6
Aplicar a solução geral ao componente x(t) e achar constantes.
Para x(t) temos
x(t)=A\cos t + B\sin t.
Derivando:
x'(t)=-A\sin t + B\cos t.
Impondo as condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=-1:
x(0)=A=1,
x'(0)=B=-1.
Logo
x(t)=\cos t - \sin t.
Passo 7
Aplicar a solução geral ao componente y(t) e achar constantes.
Para y(t) temos
y(t)=C\cos t + D\sin t,
y'(t)=-C\sin t + D\cos t.
Usando y(0)=1 e y'(0)=1:
y(0)=C=1,
y'(0)=D=1.
Logo
y(t)=\cos t + \sin t.
Passo 8
Juntar os componentes e escrever \gamma(t).
Assim a posição da partícula é
\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(\cos t - \sin t,\;\cos t + \sin t\bigr).
Passo 9
Analisar geometricamente a trajetória (como desenhar e interpretar).
Calculemos x(t)^{2}+y(t)^{2}:
x(t)^{2}+y(t)^{2}=(\cos t - \sin t)^{2}+(\cos t + \sin t)^{2}.
Desenvolvendo:
(\cos t - \sin t)^{2}=\cos^{2}t -2\sin t\cos t+\sin^{2}t,
(\cos t + \sin t)^{2}=\cos^{2}t +2\sin t\cos t+\sin^{2}t.
Somando as duas expressões os termos \pm 2\sin t\cos t se cancelam e obtemos
x(t)^{2}+y(t)^{2}=2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=2.
Portanto a trajetória está sobre a circunferência de raio \sqrt{2} centrada na origem (0,0).
Velocidade: calculemos \gamma'(t):
\gamma'(t)=\bigl(-\sin t -\cos t,\; -\sin t +\cos t\bigr).
logo \|\gamma'(t)\|=\sqrt{2} constante — movimento com velocidade angular unitária (velocidade linear \sqrt{2}) e sentido fixo.
Sentido do movimento: em t=0, \gamma(0)=(1,1) e \gamma'(0)=(-1,1). O vetor (-1,1) é o resultado da rotação de (1,1) por +90^\circ, portanto a partícula se desloca no sentido anti-horário ao redor da circunferência.
Resumo de desenho: uma circunferência centrada na origem, raio \sqrt{2}, ponto inicial em (1,1), movimento anti-horário com velocidade constante.
Passo 10
Verificação rápida (consistência física).
Energia mecânica (cinética + potencial) é preservada porque a força é conservativa. Kinetic energy inicial: