Calcule os seguintes limites ou mostre que eles não existem:
lim (x, y) (0,0) x^2-4 y^4x+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x^2-4 y^4x+2 y^2
Aqui, estamos lidando com um limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar a (0,0) e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se for, o limite existe; se não, ele não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Olhando para o numerador x^2 - 4y^4 e o denominador x + 2y^2, não vemos uma simplificação direta, então vamos tentar avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos começar avaliando o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0.
Substituindo y = 0 na função:
x^2 - 4(0)^4x + 2(0)^2 = x^2x = x
Agora, calculamos o limite quando x → 0:
limx to 0 x = 0
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos avaliar ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0.
Substituindo x = 0 na função:
0^2 - 4y^40 + 2y^2 = -4y^42y^2 = -2y^2
Calculando o limite quando y → 0:
limy to 0 -2y^2 = 0
Então, ao longo do eixo y, o limite também é 0.

Passo 5

Agora, vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, y = raizx2. Isso significa que estamos aproximando (0,0) seguindo a curva y = raizx2.
Substituindo y por raizx2:
x^2 - 4(raizx2)^4x + 2(raizx2)^2 = x^2 - 4(x^24)x + 2(x2) = x^2 - x^2x + x = 02x = 0
Então, também nesse caminho, o limite é 0.

Passo 6

Até agora, todos os caminhos que testamos dão o limite 0. Contudo, para confirmar que o limite realmente existe e é 0, precisamos garantir que para todos os caminhos o limite seja o mesmo.
Vamos usar uma estímativa geral. Observamos que:
|x^2 - 4y^4| <= |x^2| + |4y^4| = x^2 + 4y^4
E o denominador x + 2y^2 está próximo de 0, mas precisamos garantir que não estamos dividindo por algo muito pequeno que possa alterar o limite. Contudo, com os caminhos testados e a simetria da função, concluímos que o limite tende a 0 igualmente de todas as direções.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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