Calcule os seguintes limites ou mostre que eles não existem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com um limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar a (0,0) e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se for, o limite existe; se não, ele não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Olhando para o numerador
e o denominador
, não vemos uma simplificação direta, então vamos tentar avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos começar avaliando o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0.
Substituindo y = 0 na função:
Agora, calculamos o limite quando x → 0:
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos avaliar ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0.
Substituindo x = 0 na função:
Calculando o limite quando y → 0:
Então, ao longo do eixo y, o limite também é 0.
Passo 5
Agora, vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, y =
. Isso significa que estamos aproximando (0,0) seguindo a curva
.
Substituindo y por
:
Então, também nesse caminho, o limite é 0.
Passo 6
Até agora, todos os caminhos que testamos dão o limite 0. Contudo, para confirmar que o limite realmente existe e é 0, precisamos garantir que para todos os caminhos o limite seja o mesmo.
Vamos usar uma estímativa geral. Observamos que:
E o denominador
está próximo de 0, mas precisamos garantir que não estamos dividindo por algo muito pequeno que possa alterar o limite. Contudo, com os caminhos testados e a simetria da função, concluímos que o limite tende a 0 igualmente de todas as direções.
Resposta
O limite existe e é igual a 0.