Determine as primeiras derivadas parciais das seguintes funções em relação a cada uma de suas variáveis:
f(x, y, z)=x y^2 e^x y z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as primeiras derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $ em relação a cada uma das suas variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Vamos precisar entender como derivar funções com mais de uma variável, aplicando regras como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
A função é $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $. Veja que temos um produto de $ x y^{2} $ e $ e^{x y z} $, então vamos usar a regra do produto:
f
Onde $ u = x y^{2} $ e $ v = e^{x y z} $.
Primeiro, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
x
Em seguida, derivamos $ v $ em relação a $ x $ usando a regra da cadeia:
partial fpartial x
Agora, aplicamos a regra do produto:
y
z
Podemos fatorar $ y^{2} e^{x y z} $:
f(x, y, z) = x y^2 e^x y z

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes.
Novamente, temos $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $. Precisamos derivar em relação a $ y $, então usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, derivamos $ x y^{2} $ em relação a $ y $:
f
Depois, derivamos $ e^{x y z} $ em relação a $ y $:
y
Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y
x
Podemos fatorar $ x y e^{x y z} $:
z

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Aqui, $ x $ e $ y $ são tratados como constantes.
A função é $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $. A única parte que depende de $ z $ é o expoente $ e^{x y z} $, então usamos a regra da cadeia:
f
z

Resposta

As primeiras derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $ são:
f(x, y, z) = x y^2 e^x y z
partial fpartial x = y^2 e^x y z (1 + x y z)
partial fpartial y = x y e^x y z (x y z + 2)

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