Determine as primeiras derivadas parciais das seguintes funções em relação a cada uma de suas variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as primeiras derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $ em relação a cada uma das suas variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Vamos precisar entender como derivar funções com mais de uma variável, aplicando regras como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
A função é $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $. Veja que temos um produto de $ x y^{2} $ e $ e^{x y z} $, então vamos usar a regra do produto:
Onde $ u = x y^{2} $ e $ v = e^{x y z} $.
Primeiro, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
Em seguida, derivamos $ v $ em relação a $ x $ usando a regra da cadeia:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Podemos fatorar $ y^{2} e^{x y z} $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes.
Novamente, temos $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $. Precisamos derivar em relação a $ y $, então usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, derivamos $ x y^{2} $ em relação a $ y $:
Depois, derivamos $ e^{x y z} $ em relação a $ y $:
Aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar $ x y e^{x y z} $:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Aqui, $ x $ e $ y $ são tratados como constantes.
A função é $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $. A única parte que depende de $ z $ é o expoente $ e^{x y z} $, então usamos a regra da cadeia:
Resposta
As primeiras derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = x y^{2} e^{x y z} $ são: