Questão 1. Considere a equação diferencial e a função y=F(t, y) dada: y^prime prime+y=sec t, y=cos t ln (cos t)+t sen t
(b) (0.7 pt) Verifique que a função y=F(t, y) é solução da equação diferencial em algum intervalo I.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função y=cos tln(cos t)+tsin t satisfaz a EDO y''+y=sec t. O conteúdo aqui é verificação de solução por substituição, e vamos precisar calcular y' e y'', além de usar identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Começamos calculando a primeira derivada usando regra do produto e a derivada ddtln(cos t)=-tan t:
ddtl(cos tln(cos t)r)=-sin tln(cos t)-sin t,
ddt(tsin t)=sin t+tcos t
Somando, obtemos
y'=-sin tln(cos t)+tcos t

Passo 3

Agora derivamos y' para achar y''. Aplicando novamente produto e a derivada ddt(lncos t)=-tan t:
ddtl(-sin tln(cos t)r)=-cos tln(cos t)+sin^2 tcos t,
ddt(tcos t)=cos t-tsin t
Logo,
y''=-cos tln(cos t)+sin^2 tcos t+cos t-tsin t

Passo 4

Substituímos y e y'' em y''+y e vemos que os termos com ln(cos t) e com tsin t se cancelam:
y''+y=l(-cos tln(cos t)+tfracsin^2 tcos t+cos t-tsin tr)+l(cos tln(cos t)+tsin tr)
=cos t+sin^2 tcos t=cos^2 t+sin^2 tcos t=1cos t=sec t

Passo 5

Como obtivemos y''+y=sec t, concluímos que a função dada é solução da EDO em qualquer intervalo onde cos tneq0, por exemplo em I=(-tfracpi2,tfracpi2).

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial em qualquer intervalo onde cos tneq0, por exemplo I=(-tfracpi2,tfracpi2).

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