Descreva as superfícies de nível da função.(revisar quádricas) - elipsoides, paraboloides, hiperboloides)
f(x, y, z)=x^2-y^2-z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever as superfícies de nível da função f(x, y, z) = x^2 - y^2 - z^2 . Isso envolve trabalhar com quádricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis. Para resolver, vamos precisar entender os diferentes tipos de quádricas, como elipsoides, paraboloides e hiperboloides.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. São as “fatias” da função onde ela assume um valor constante. Ou seja, para cada valor k , temos a equação x^2 - y^2 - z^2 = k . Nosso objetivo é analisar como essas superfícies se comportam para diferentes valores de k .

Passo 3

Vamos considerar os diferentes casos para k :
  1. Quando k > 0 :
    A equação fica x^2 - y^2 - z^2 = k . Podemos reescrever como x^2k - y^2k - z^2k = 1 . Isso se parece com a forma geral de um hiperboloide de duas folhas, mas aqui temos dois termos negativos. Na verdade, é um hiperbolóide de uma folha porque a variável x está positiva e as outras duas negativas.
  2. Quando k = 0 :
    A equação é x^2 - y^2 - z^2 = 0 . Podemos fatorar como x^2 = y^2 + z^2 , que é a equação de um cone duplo. Isso é uma transição entre os hiperboloides de uma e duas folhas.
  3. Quando k < 0 :
    A equação vira x^2 - y^2 - z^2 = k , ou seja, -y^2 - z^2 = k - x^2 . Rearranjando, temos y^2 + z^2 = -k + x^2 . Como k < 0 , -k é positivo, então a equação representa um hiperboloide de duas folhas.

Passo 4

Resumindo:
  • Para k > 0 : Hiperbolóide de uma folha.
  • Para k = 0 : Cone duplo.
  • Para k < 0 : Hiperbolóide de duas folhas.

Resposta

As superfícies de nível da função f(x, y, z) = x^2 - y^2 - z^2 são:
  • Hiperbolóides de uma folha quando k > 0 ,
  • Cone duplo quando k = 0 ,
  • Hiperbolóides de duas folhas quando k < 0 .

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