Descreva as superfícies de nível da função.(revisar quádricas) - elipsoides, paraboloides, hiperboloides)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever as superfícies de nível da função
. Isso envolve trabalhar com quádricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis. Para resolver, vamos precisar entender os diferentes tipos de quádricas, como elipsoides, paraboloides e hiperboloides.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. São as “fatias” da função onde ela assume um valor constante. Ou seja, para cada valor
, temos a equação
. Nosso objetivo é analisar como essas superfícies se comportam para diferentes valores de
.
Passo 3
Vamos considerar os diferentes casos para
:
-
Quando
:
A equação fica. Podemos reescrever como . Isso se parece com a forma geral de um hiperboloide de duas folhas, mas aqui temos dois termos negativos. Na verdade, é um hiperbolóide de uma folha porque a variável está positiva e as outras duas negativas. -
Quando
:
A equação é. Podemos fatorar como , que é a equação de um cone duplo. Isso é uma transição entre os hiperboloides de uma e duas folhas. -
Quando
:
A equação vira, ou seja, . Rearranjando, temos . Como , é positivo, então a equação representa um hiperboloide de duas folhas.
Passo 4
Resumindo:
- Para
: Hiperbolóide de uma folha. - Para
: Cone duplo. - Para
: Hiperbolóide de duas folhas.
Resposta
As superfícies de nível da função
são:
- Hiperbolóides de uma folha quando
, - Cone duplo quando
, - Hiperbolóides de duas folhas quando
.