1+cotg^2 x=cosec^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica
1 + cotg^2 x = cosec^2 x
Estamos em um tópico de identidades trigonométricas e vamos usar as definições de cotgx e cosecx juntamente com a identidade pitagórica básica
sin^2 x + cos^2 x = 1

Passo 2

Começamos lembrando as definições:
cotg x = cos xsin x, cosec x = 1sin x
Logo,
cotg^2 x = cos^2 xsin^2 x, cosec^2 x = 1sin^2 x

Passo 3

Substituímos cotg^2 x em 1 + cotg^2 x:
1 + cotg^2 x = 1 + cos^2 xsin^2 x = sin^2 xsin^2 x + cos^2 xsin^2 x = sin^2 x + cos^2 xsin^2 x
Agora usamos a identidade pitagórica sin^2 x + cos^2 x = 1:

Passo 4

sin^2 x + cos^2 xsin^2 x = 1sin^2 x = cosec^2 x
Portanto a igualdade está demonstrada.

Resposta

1 + cotg^2 x = cosec^2 x

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