Encontre Du f em P.
  1. f(x, y)=(1+x y)^32 ; P(1,3) ; u=1raiz2 l+1raiz2 j

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f em P na direção u; estamos em Cálculo de várias variáveis e vamos usar o fato de que a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de f e o vetor unitário u.

Passo 2

Para achar o gradiente, primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y) = (1 + x y)^{3/2}. Usando a regra da cadeia, temos
partial fpartial x = 32(1 + x y)^1/2 cdot y, partial fpartial y = 32(1 + x y)^1/2 cdot x

Passo 3

Portanto o gradiente é
nabla f(x,y) = l(tfrac32(1+xy)^1/2y,;tfrac32(1+xy)^1/2xr)

Passo 4

Agora avaliamos em P(1,3). Note que 1 + 1·3 = 4 e (1+xy)^{1/2} = 2. Logo
nabla f(1,3) = l(tfrac32cdot2cdot3,;tfrac32cdot2cdot1r) = (9,3)

Passo 5

O vetor unitário é u = (1/√2, 1/√2). A derivada direcional é
D uf(P) = nabla f(1,3) cdot u = (9,3)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) = 9+3raiz2 = 6raiz2

Resposta

6raiz2

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