Determine o limite:
lim x 0 raizx^2+p^2-praizx^2+q^2-q

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0raizx^2+p^2-praizx^2+q^2-q. O tema aqui é “limites de funções envolvendo radicais” e vamos precisar tratar a forma de indeterminação do tipo 0/0, usando racionalização.

Passo 2

Ao fazer xto0, a parte de cima fica raiz0+p^2-p=p-p=0 e a de baixo fica raiz0+q^2-q=q-q=0. Então temos uma indeterminação 0/0, o que nos diz que é preciso manipular a expressão para eliminar essa forma.
Vamos racionalizar numerador e denominador de maneira estratégica. Primeiro, multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, e depois pelo conjugado do denominador. Assim,
raizx^2+p^2-praizx^2+q^2-q =(raizx^2+p^2-p)(raizx^2+p^2+p)(raizx^2+q^2-q)(raizx^2+p^2+p) =x^2(raizx^2+q^2-q)(raizx^2+p^2+p)

Passo 3

Agora racionaliza-se o denominador raizx^2+q^2-q multiplicando e dividindo por raizx^2+q^2+q. Isso dá
$$\sqrt{x2+q2}-q=\frac{(\sqrt{x2+q2}-q)(\sqrt{x2+q2}+q)}{\sqrt{x2+q2}+q}=
\frac{x2}{\sqrt{x2+q^2}+q}. raizx^2+q^2-q=(raizx^2+q^2-q)(raizx^2+q^2+q)raizx^2+q^2+q= x^2raizx^2+q^2+qã
\frac{x2}{\displaystyle\frac{x2}{\sqrt{x2+q2}+q},(\sqrt{x2+p2}+p)}
=\frac{\sqrt{x2+q2}+q}{\sqrt{x2+p2}+p}.
$$

Passo 4

Agora basta tomar xto0 nessa forma simplificada: no numerador fica raiz0+q^2+q=2q e no denominador raiz0+p^2+p=2p.
Finalmente, o limite é
2q2p=qp

Resposta

q/p

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