Determine o limite:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O tema aqui é “limites de funções envolvendo radicais” e vamos precisar tratar a forma de indeterminação do tipo
, usando racionalização.
Passo 2
Ao fazer
, a parte de cima fica
e a de baixo fica
. Então temos uma indeterminação
, o que nos diz que é preciso manipular a expressão para eliminar essa forma.
Vamos racionalizar numerador e denominador de maneira estratégica. Primeiro, multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, e depois pelo conjugado do denominador. Assim,
Vamos racionalizar numerador e denominador de maneira estratégica. Primeiro, multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, e depois pelo conjugado do denominador. Assim,
Passo 3
Agora racionaliza-se o denominador
multiplicando e dividindo por
. Isso dá
$$\sqrt{x2+q2}-q=\frac{(\sqrt{x2+q2}-q)(\sqrt{x2+q2}+q)}{\sqrt{x2+q2}+q}=
\frac{x2}{\sqrt{x2+q^2}+q}.
\frac{x2}{\displaystyle\frac{x2}{\sqrt{x2+q2}+q},(\sqrt{x2+p2}+p)}
=\frac{\sqrt{x2+q2}+q}{\sqrt{x2+p2}+p}.
=\frac{\sqrt{x2+q2}+q}{\sqrt{x2+p2}+p}.
$$
Passo 4
Agora basta tomar
nessa forma simplificada: no numerador fica
e no denominador
.
Finalmente, o limite é
Finalmente, o limite é